Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e o que se quer:
- A expressão envolve uma função racional com denominador
. - O objetivo é encontrar todos os
que satisfazem a inequação acima. - Importante: o domínio da expressão original exclui pontos onde o denominador é zero, isto é,
. Esses pontos não podem ser soluções porque a expressão não está definida neles.
Passo 2
Primeiro passo técnico: levar tudo para um único lado e escrever a inequação como uma única fração. Subtraindo
dos dois lados:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Agora calculo o numerador cuidadosamente:
Portanto a inequação fica
Passo 3
Para facilitar a análise é comum tirar o sinal negativo do numerador (isso troca o sentido da desigualdade). Multiplicando numerador e denominador por
(ou, equivalentemente, multiplicando toda a inequação por
) inverte-se a desigualdade:
Explico rápido por que: se
então
. Essa operação não altera os pontos em que a expressão está indefinida (a condição
continua válida).
Passo 4
Agora fatoro numerador e denominador para identificar zeros e sinais. Denominador:
Numerador: calculo o discriminante para fatorar
.
Assim as raízes são
Logo o numerador fatora como
Substituindo:
Passo 5
Observação importante sobre cancelamento: há um fator comum
no numerador e no denominador, mas
torna o denominador zero na expressão original, portanto
é ponto excluído do domínio (não podemos incluir
mesmo que a expressão simplificada pareça finita). Cancelo o fator comum para analisar o sinal em
:
Mantém-se também
porque aí o denominador da expressão original é zero. Assim, para
a inequação original é equivalente a
Lembro: mesmo que a simplificação dê um valor em
, esse
continua proibido.
Passo 6
Resolvo a inequação
por análise de sinais. Os pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero) são:
- numerador zero em
, - denominador zero em
, - lembrar que
também é excluído (pela etapa anterior), embora já não apareça no simplificado como zero do denominador; é um ponto de descontinuidade removível no processo de fatoração.
Ordenando os pontos na reta:
.
Agora faço tabela de sinais testando um valor em cada intervalo.
- Intervalo
(ex.: ):
Quociente:
. Portanto a inequação
é satisfeita neste intervalo.
- Intervalo
(ex.: ):
Quociente:
. Então a inequação não é satisfeita aqui.
- Intervalo
(ex.: ):
Quociente:
. Satisfeito. Lembrar que
é excluído.
- Intervalo
(ex.: ):
Quociente:
. Satisfeito. Lembrar que
é excluído.
Agora verifico os pontos críticos:
-
: numerador zero e denominador não zero ( ), portanto a fração vale aqui e como queremos incluímos . -
: denominador zero na expressão original, então é excluído. -
: também excluído (denominador zero na expressão original), mesmo que na simplificação esse zero tenha sido cancelado.
Passo 7
Reunindo os intervalos onde a desigualdade é satisfeita e respeitando exclusões, obtemos a solução: