Resolva as inequações.
\frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}+x} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+x}\geq 0.
Informações dadas e o que precisamos considerar:
  • O numerador é x^{2}-3x+2.
  • O denominador é x^{2}+x.
  • Devemos encontrar todos os valores de x (reais) para os quais a expressão racional é maior ou igual a zero.
  • Atenção: valores de x que anulam o denominador não pertencem ao domínio da expressão (são proibidos).

Passo 2

Primeiro fatoramos numerador e denominador para ficar mais fácil analisar sinais.
Fatorando o numerador x^{2}-3x+2. Procuramos dois números que multiplicam 2 e somam -3. Esses números são -1 e -2. Logo
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Fatorando o denominador x^{2}+x. Colocamos x em evidência:
x^{2}+x=x(x+1).
Assim a inequação fica
\frac{(x-1)(x-2)}{x(x+1)}\geq 0.

Passo 3

Identificamos os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador), pois são onde o sinal da expressão pode mudar:
  • Zeros do numerador: x=1 e x=2. Nesses pontos a fração vale 0 (desde que o denominador não seja zero), então podem entrar na solução porque queremos \geq 0.
  • Zeros do denominador: x=0 e x=-1. Nesses pontos a expressão não está definida (divisão por zero), portanto esses valores são proibidos e não podem estar na solução.
Os pontos críticos ordenados são
- \infty,\\\ -1,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 2,\\\ +\infty.
Vamos estudar o sinal da expressão em cada intervalo determinado por esses pontos.

Passo 4

Método: para cada fator (x-1),(x-2),x,(x+1) determinamos se é positivo ou negativo em um ponto teste de cada intervalo e multiplicamos esses sinais para obter o sinal da fração. Todos os fatores são de multiplicidade 1 (linéares), então mudam de sinal ao atravessar o zero correspondente.
Escolho pontos-teste:
  • Intervalo (-\infty,-1): tomo x=-2.
  • Intervalo (-1,0): tomo x=-\tfrac12.
  • Intervalo (0,1): tomo x=\tfrac12.
  • Intervalo (1,2): tomo x=\tfrac32.
  • Intervalo (2,\infty): tomo x=3.
Agora avalio o sinal de cada fator nesses pontos.

Passo 5

Avaliação dos sinais nos pontos-teste (cada linha mostra o sinal de cada fator e o sinal final da fração).
Para x=-2:
x-1=-3<0,\quad x-2=-4<0,\quad x=-2<0,\quad x+1=-1<0.
Numerador: (x-1)(x-2)=(<0)\cdot(<0)=+.
Denominador: x(x+1)=(<0)\cdot(<0)=+.
Fraçã o: +\div + = +.
Logo a expressão é positiva em (-\infty,-1).
Para x=-\tfrac12:
x-1=-\tfrac32<0,\quad x-2=-\tfrac52<0,\quad x=-\tfrac12<0,\quad x+1=\tfrac12>0.
Numerador: +. Denominador: (<0)\cdot(>0)= -.
Fraçã o: +\div - = -.
Logo a expressão é negativa em (-1,0).
Para x=\tfrac12:
x-1=-\tfrac12<0,\quad x-2=-\tfrac32<0,\quad x=\tfrac12>0,\quad x+1=\tfrac32>0.
Numerador: +. Denominador: +.
Fraçã o: +.
Logo a expressão é positiva em (0,1).
Para x=\tfrac32:
x-1=\tfrac12>0,\quad x-2=-\tfrac12<0,\quad x=\tfrac32>0,\quad x+1=\tfrac52>0.
Numerador: (>0)\cdot(<0)= -. Denominador: +.
Fraçã o: -.
Logo a expressão é negativa em (1,2).
Para x=3:
x-1=2>0,\quad x-2=1>0,\quad x=3>0,\quad x+1=4>0.
Numerador: +. Denominador: +.
Fraçã o: +.
Logo a expressão é positiva em (2,\infty).

Passo 6

Agora juntamos os resultados e tratamos os pontos críticos:
  • A expressão é positiva em (-\infty,-1), (0,1) e (2,\infty).
  • A expressão é negativa em (-1,0) e (1,2).
  • Em x=1 e x=2 a fração vale 0 porque o numerador zera e o denominador é diferente de zero; como queremos \geq 0, esses pontos são incluídos.
  • Em x=-1 e x=0 a expressão é indefinida (denominador zero); portanto esses pontos são excluídos.
Portanto a solução da inequação é a união dos intervalos onde a fração é positiva, mais os zeros permitidos:
(-\infty,-1)\\ \cup\\ (0,1]\\ \cup\\ [2,\infty).

Resposta

(-\infty,-1)\\ \cup\\ (0,1]\\ \cup\\ [2,\infty)

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