Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e pontos importantes tirados do enunciado:
- O numerador é
. Ele se anula em . - O denominador é
. Ele se anula em , portanto a expressão não está definida em . - Procuramos os
reais tais que a fração seja menor ou igual a zero (ou seja, negativa ou zero). - Observação útil:
. O fator é sempre positivo, então o sinal da fração é o mesmo do quociente .
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): para inequações envolvendo uma fração racional do tipo
o método mais direto é:
- Encontrar os pontos críticos — onde numerador ou denominador são zero (aqui:
e ). - Dividir a reta real em intervalos determinados por esses pontos.
- Determinar o sinal da expressão em cada intervalo (pelo sinal dos fatores ou testando um ponto).
- Reunir os intervalos onde a expressão é negativa e incluir os pontos onde a expressão é igual a zero (apenas se estiverem no domínio).
Vou aplicar esse procedimento.
Passo 3
Encontrando os pontos críticos:
- Numerador zero:
. - Denominador zero:
(ponto fora do domínio).
Portanto os intervalos a testar são:
Passo 4
Determinação do sinal em cada intervalo — explicando como pensar no sinal sem pular etapas:
Podemos usar que
e que o
é positivo, então o sinal da fração é igual ao sinal de
. Para cada intervalo, analisamos o sinal de
e de
.
- Para
(por exemplo ):
-
. -
.
Produto/Quociente: negativo dividido por negativo é positivo. Logopara .
- Para
(por exemplo ):
-
. -
.
Negativo dividido por positivo é negativo. Logopara .
- Para
(por exemplo ):
-
. -
.
Positivo dividido por positivo é positivo. Logo para.
Também verifique os pontos críticos:
- Em
o numerador é zero e o denominador é , então a fração vale em — esse ponto satisfaz a desigualdade . - Em
o denominador é zero, então a expressão não está definida e não pode ser incluída.
Passo 5
Juntando tudo: queremos os
onde a fração é menor ou igual a zero. Pelos sinais obtidos:
- Nos intervalos
e a expressão é positiva — esses não entram. - No intervalo
a expressão é negativa — esse entra. - Em
a expressão é zero — entra. -
não entra (indefinido).
Portanto o conjunto solução é o intervalo