Resolva as inequações.
\frac{3 x+10}{2 x-5} \geq-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{3x+10}{2x-5}\ge -3.
Informações dadas e o que se quer:
  • A incógnita é x.
  • A expressão é uma razão (fração) com denominador 2x-5, portanto devemos lembrar que x não pode tornar o denominador zero; ou seja, x\neq \tfrac{5}{2}.
  • Objetivo: encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade indicada.

Passo 2

Primeiro passo prático: passar tudo para um único lado da desigualdade, de modo a trabalhar com uma única fração comparada com zero. Somamos 3 aos dois lados:
\frac{3x+10}{2x-5}+3\ge 0

Passo 3

Colocar as parcelas sobre o mesmo denominador para obter uma única fração. Escrevendo 3 com o denominador 2x-5 temos 3=\dfrac{3(2x-5)}{2x-5}. Então:
\frac{3x+10}{2x-5}+\frac{3(2x-5)}{2x-5}\ge 0
Como os denominadores são iguais, somamos os numeradores:
\frac{3x+10+3(2x-5)}{2x-5}\ge 0

Passo 4

Agora simplificamos o numerador. Desenvolvendo 3(2x-5):
3(2x-5)=6x-15.
Somando aos outros termos do numerador:
3x+10+6x-15=9x-5.
Portanto a inequação ficou
\frac{9x-5}{2x-5}\ge 0.

Passo 5

Explicar a ideia do teste de sinais (bem devagar, tipo amigo explicando):
  • Uma fração \dfrac{A(x)}{B(x)} é positiva se o numerador e o denominador têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
  • É negativa se têm sinais opostos.
  • É zero quando o numerador é zero (desde que o denominador seja diferente de zero).
    Logo, para resolver \dfrac{9x-5}{2x-5}\ge 0 precisamos:
  1. Encontrar os pontos onde o numerador ou o denominador se anulam (os chamados pontos críticos).
  2. Fazer uma análise de sinais em cada intervalo determinado por esses pontos.
  3. Incluir os pontos em que a expressão vale zero (numerador zero) e excluir os que tornam o denominador zero.

Passo 6

Determinar os pontos críticos:
  • Numerador 9x-5=0 implica
9x-5=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{9}.
  • Denominador 2x-5=0 implica
2x-5=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{2}.
Lembrete: x=\tfrac{5}{2} deve ser excluído da solução porque anula o denominador (expressão indefinida).

Passo 7

Fazemos a análise de sinais nos intervalos determinados por \tfrac{5}{9} e \tfrac{5}{2}. Os intervalos são:
\left(-\infty,\frac{5}{9}\right),\qquad \left(\frac{5}{9},\frac{5}{2}\right),\qquad \left(\frac{5}{2},\infty\right).
Para cada intervalo, basta verificar o sinal do numerador 9x-5 e do denominador 2x-5.
  • Para x<\tfrac{5}{9}: escolhe-se, por exemplo, x=0.
    • 9x-5 em x=0 -5 (negativo).
    • 2x-5 em x=0 -5 (negativo).
    • Negativo dividido por negativo é positivo. Portanto a expressão é positiva nesse intervalo.
  • Em x=\tfrac{5}{9}:
    • O numerador 9x-5 é zero, o denominador 2x-5 não é zero (porque \tfrac{5}{9}\neq \tfrac{5}{2}), logo a fração vale 0. Como a desigualdade é \ge 0, devemos incluir x=\tfrac{5}{9}.
  • Para \tfrac{5}{9}<x<\tfrac{5}{2}: escolhe-se, por exemplo, x=1 (pois 1\approx 0{,}111\ldots — ops, cuidado: 1>5/9 corretíssimo e 1<2.5 também).
    • 9x-5 em x=1 4 (positivo).
    • 2x-5 em x=1 -3 (negativo).
    • Positivo dividido por negativo é negativo. Portanto a expressão é negativa neste intervalo e não satisfaz a desigualdade.
  • Para x>\tfrac{5}{2}: escolhe-se, por exemplo, x=3.
    • 9x-5 em x=3 22 (positivo).
    • 2x-5 em x=3 1 (positivo).
    • Positivo dividido por positivo é positivo. Portanto a expressão é positiva neste intervalo e satisfaz a desigualdade.
  • Em x=\tfrac{5}{2} a expressão é indefinida (denominador zero), então não pode ser incluída.

Passo 8

Conclusão combinando os resultados:
  • A expressão é \ge 0 para todos x em (-\infty,\tfrac{5}{9}] e também em (\tfrac{5}{2},\infty).
  • Exclui-se x=\tfrac{5}{2}.
    Portanto a solução é a união desses dois conjuntos de números reais.

Resposta

\displaystyle \left(-\infty,\frac{5}{9}\right]\cup\left(\frac{5}{2},\infty\right)

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