Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e o que se quer:
- A incógnita é
. - A expressão é uma razão (fração) com denominador
, portanto devemos lembrar que não pode tornar o denominador zero; ou seja, . - Objetivo: encontrar todos os valores de
que satisfazem a desigualdade indicada.
Passo 2
Primeiro passo prático: passar tudo para um único lado da desigualdade, de modo a trabalhar com uma única fração comparada com zero. Somamos
aos dois lados:
Passo 3
Colocar as parcelas sobre o mesmo denominador para obter uma única fração. Escrevendo
com o denominador
temos
. Então:
Como os denominadores são iguais, somamos os numeradores:
Passo 4
Agora simplificamos o numerador. Desenvolvendo
:
Somando aos outros termos do numerador:
Portanto a inequação ficou
Passo 5
Explicar a ideia do teste de sinais (bem devagar, tipo amigo explicando):
- Uma fração
é positiva se o numerador e o denominador têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). - É negativa se têm sinais opostos.
- É zero quando o numerador é zero (desde que o denominador seja diferente de zero).
Logo, para resolverprecisamos:
- Encontrar os pontos onde o numerador ou o denominador se anulam (os chamados pontos críticos).
- Fazer uma análise de sinais em cada intervalo determinado por esses pontos.
- Incluir os pontos em que a expressão vale zero (numerador zero) e excluir os que tornam o denominador zero.
Passo 6
Determinar os pontos críticos:
- Numerador
implica
- Denominador
implica
Lembrete:
deve ser excluído da solução porque anula o denominador (expressão indefinida).
Passo 7
Fazemos a análise de sinais nos intervalos determinados por
e
. Os intervalos são:
Para cada intervalo, basta verificar o sinal do numerador
e do denominador
.
-
Para
: escolhe-se, por exemplo, . -
em dá (negativo). -
em dá (negativo). - Negativo dividido por negativo é positivo. Portanto a expressão é positiva nesse intervalo.
-
-
Em
: - O numerador
é zero, o denominador não é zero (porque ), logo a fração vale . Como a desigualdade é , devemos incluir .
- O numerador
-
Para
: escolhe-se, por exemplo, (pois — ops, cuidado: corretíssimo e também). -
em dá (positivo). -
em dá (negativo). - Positivo dividido por negativo é negativo. Portanto a expressão é negativa neste intervalo e não satisfaz a desigualdade.
-
-
Para
: escolhe-se, por exemplo, . -
em dá (positivo). -
em dá (positivo). - Positivo dividido por positivo é positivo. Portanto a expressão é positiva neste intervalo e satisfaz a desigualdade.
-
-
Em
a expressão é indefinida (denominador zero), então não pode ser incluída.
Passo 8
Conclusão combinando os resultados:
- A expressão é
para todos em e também em . - Exclui-se
.
Portanto a solução é a união desses dois conjuntos de números reais.