Resolva as inequações.
\frac{4 x+5}{x+2} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{4x+5}{x+2}\geq 0.
O que nos é dado:
  • A expressão racional \dfrac{4x+5}{x+2}.
  • A desigualdade do tipo “maior ou igual a zero” ( \geq 0).
O que é pedido:
  • Determinar o conjunto de valores de \,x\in\mathbb{R}\, que satisfazem a inequação.
Informações relevantes a observar (sem ainda resolver):
  • O denominador \,x+2 não pode ser zero; portanto x\neq -2.
  • Zeros do numerador e do denominador são pontos críticos que dividem a reta em intervalos onde o sinal da expressão é constante.

Passo 2

Estratégia (explicando a ideia passo a passo, como fazer numa prova):
  • Para resolver uma inequação com uma fração, identificamos os pontos onde o numerador é zero e onde o denominador é zero. Esses pontos são as únicas posições onde o sinal da fração pode mudar.
  • Em seguida, dividimos a reta real em intervalos determinados por esses pontos e testamos o sinal da fração em cada intervalo usando um valor de teste simples.
  • Finalmente, escolhemos os intervalos onde a fração é maior ou igual a zero. Se a desigualdade permitir igualdade ( \geq ou \leq), incluímos os zeros do numerador (desde que não anulem o denominador). Nunca incluímos valores que anulam o denominador.

Passo 3

Calcular os pontos críticos:
  • Zerar o numerador: resolver 4x+5=0.
4x+5=0 \quad\Rightarrow\quad 4x=-5 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{5}{4}.
  • Zerar o denominador: resolver x+2=0.
x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2.
Portanto os pontos críticos são x=-2 (onde a expressão não está definida) e x=-\tfrac{5}{4} (onde a expressão vale zero).

Passo 4

Ordenar os pontos críticos e dividir a reta em intervalos:
  • Observando os valores, -2 < -\tfrac{5}{4} porque -2=-2{,}00 e -\tfrac{5}{4}=-1{,}25.
  • Os intervalos são:
(-\infty,-2),\qquad (-2,-\tfrac{5}{4}),\qquad (-\tfrac{5}{4},\infty).

Passo 5

Escolher um ponto teste em cada intervalo e avaliar o sinal de \dfrac{4x+5}{x+2}. Fazer as contas de forma simples, sem calculadora.
Intervalo (-\infty,-2). Escolher x=-3.
\text{Numerador: }4(-3)+5=-12+5=-7\quad(\text{negativo}).
\text{Denominador: }-3+2=-1\quad(\text{negativo}).
Quociente: negativo dividido por negativo é positivo. Logo a expressão é positiva em (-\infty,-2).
Intervalo (-2,-\tfrac{5}{4}). Escolher x=-\tfrac{3}{2}=-1{,}5.
\text{Numerador: }4\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)+5=-6+5=-1\quad(\text{negativo}).
\text{Denominador: }- \tfrac{3}{2}+2=\tfrac{1}{2}\quad(\text{positivo}).
Quociente: negativo dividido por positivo é negativo. Logo a expressão é negativa em (-2,-\tfrac{5}{4}).
Intervalo (-\tfrac{5}{4},\infty). Escolher x=0.
\text{Numerador: }4\cdot 0+5=5\quad(\text{positivo}).
\text{Denominador: }0+2=2\quad(\text{positivo}).
Quociente: positivo dividido por positivo é positivo. Logo a expressão é positiva em (-\tfrac{5}{4},\infty).

Passo 6

Interpretar os resultados e formar a solução:
  • A expressão é positiva em (-\infty,-2) e em (-\tfrac{5}{4},\infty).
  • A desigualdade é \geq 0, então também podemos incluir os pontos onde a expressão é exatamente zero. Isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja em x=-\tfrac{5}{4}. Como nesse ponto o denominador não é zero ( -\tfrac{5}{4}+2=\tfrac{3}{4}\neq 0), podemos incluir x=-\tfrac{5}{4}.
  • Nunca incluímos x=-2, porque ali o denominador anula-se e a expressão não está definida.
Assim a solução é a união dos intervalos onde a expressão é positiva, adicionando o zero do numerador:
(-\infty,-2)\\ \cup\\ \bigl[-\tfrac{5}{4},\infty\bigr).

Resposta

(-\infty,-2)\cup\left[-\tfrac{5}{4},\infty\right)

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