Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
O que nos é dado:
- A expressão racional
. - A desigualdade do tipo “maior ou igual a zero” (
).
O que é pedido:
- Determinar o conjunto de valores de
que satisfazem a inequação.
Informações relevantes a observar (sem ainda resolver):
- O denominador
não pode ser zero; portanto . - Zeros do numerador e do denominador são pontos críticos que dividem a reta em intervalos onde o sinal da expressão é constante.
Passo 2
Estratégia (explicando a ideia passo a passo, como fazer numa prova):
- Para resolver uma inequação com uma fração, identificamos os pontos onde o numerador é zero e onde o denominador é zero. Esses pontos são as únicas posições onde o sinal da fração pode mudar.
- Em seguida, dividimos a reta real em intervalos determinados por esses pontos e testamos o sinal da fração em cada intervalo usando um valor de teste simples.
- Finalmente, escolhemos os intervalos onde a fração é maior ou igual a zero. Se a desigualdade permitir igualdade (
ou ), incluímos os zeros do numerador (desde que não anulem o denominador). Nunca incluímos valores que anulam o denominador.
Passo 3
Calcular os pontos críticos:
- Zerar o numerador: resolver
.
- Zerar o denominador: resolver
.
Portanto os pontos críticos são
(onde a expressão não está definida) e
(onde a expressão vale zero).
Passo 4
Ordenar os pontos críticos e dividir a reta em intervalos:
- Observando os valores,
porque e . - Os intervalos são:
Passo 5
Escolher um ponto teste em cada intervalo e avaliar o sinal de
. Fazer as contas de forma simples, sem calculadora.
Intervalo
. Escolher
.
Quociente: negativo dividido por negativo é positivo. Logo a expressão é positiva em
.
Intervalo
. Escolher
.
Quociente: negativo dividido por positivo é negativo. Logo a expressão é negativa em
.
Intervalo
. Escolher
.
Quociente: positivo dividido por positivo é positivo. Logo a expressão é positiva em
.
Passo 6
Interpretar os resultados e formar a solução:
- A expressão é positiva em
e em . - A desigualdade é
, então também podemos incluir os pontos onde a expressão é exatamente zero. Isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja em . Como nesse ponto o denominador não é zero ( ), podemos incluir . - Nunca incluímos
, porque ali o denominador anula-se e a expressão não está definida.
Assim a solução é a união dos intervalos onde a expressão é positiva, adicionando o zero do numerador: