Resolva as inequações em R : log2(5) + log2(2x + 1) < 3

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte inequação para resolver em números reais ( R): . Vamos usar conceitos de logaritmos e propriedades das inequações para encontrar os valores de x que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a gente soma dois logaritmos com a mesma base, isso é igual ao logaritmo do produto dos argumentos. Ou seja, . Aplicando isso na nossa inequação:
Então, a inequação fica:

Passo 3

Agora, para resolver a inequação envolvendo logaritmo, a gente pode “desfazer” o logaritmo aplicando a operação inversa, que no caso é a exponenciação. Sabemos que se , então , desde que e . Aqui, a base do logaritmo é 2, que é maior que 1, então podemos aplicar essa regra.
Aplicando isso na nossa inequação:
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação resultante para encontrar o valor de x.
Primeiro, dividimos ambos os lados por 5:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Então, temos que x deve ser menor que .

Passo 5

Mas não podemos esquecer que o argumento do logaritmo precisa ser positivo. Ou seja, . Vamos resolver essa condição:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 2:

Passo 6

Então, unindo as duas condições que encontramos:

Resposta

A solução da inequação é .

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