Resolva as inequações nos reais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se resolver nos reais a inequação
. - A expressão dada é um polinômio quadrático com coeficientes
, , . - Objetivo: encontrar todos os valores reais de
que tornam verdadeira a desigualdade.
Passo 2
Observação útil (modelo de trinômio quadrado perfeito): explique o conceito.
- Um trinômio da forma
desenvolve-se em . Aqui é um número real qualquer. - Isso serve para reconhecer quando um quadrático é um quadrado perfeito: comparar os coeficientes para ver se existe um
tal que coincida com o polinômio dado.
Passo 3
Aplicando o reconhecimento ao nosso polinômio:
- Comparando
com vemos que , logo . - Também
, que coincide com o termo constante. Portanto é de fato um quadrado perfeito. - Logo temos a fatoração
Passo 4
Interpretando a inequação usando a fatoração:
- Substituindo na desigualdade obtemos
- Lembrete básico e importante: para qualquer número real
vale . Exemplos rápidos: , , . Isso é porque o quadrado de um número não pode ser negativo.
Passo 5
Conclusão da desigualdade com respeito ao conjunto dos reais:
- Como
é sempre maior ou igual a zero para qualquer , a inequação é satisfeita para todo . - Observação sobre igualdade: temos
somente quando , isto é, em ; mas isso não exclui nenhum ponto porque a desigualdade é do tipo “maior ou igual”.
Passo 6
Método alternativo (curiosidade rápida, para a prova): usar o discriminante.
- Para
o discriminante é . Aqui
-
indica raiz dupla . Como , a parábola abre para cima e o quadrático é para todo . Resultado compatível com a fatoração anterior.
Passo 7
Dica final e incentivo: em provas, ao ver um quadrático com termos
,
e constante, verifique se é um quadrado perfeito (forma
) — isso resolve rápido. Você está indo bem; identificar esse padrão salva tempo!