Resolva as inequações nos reais:
x^{2}-6 x+9 \geqslant 0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se resolver nos reais a inequação x^{2}-6x+9\geqslant 0.
  • A expressão dada é um polinômio quadrático com coeficientes a=1, b=-6, c=9.
  • Objetivo: encontrar todos os valores reais de x que tornam verdadeira a desigualdade.

Passo 2

Observação útil (modelo de trinômio quadrado perfeito): explique o conceito.
  • Um trinômio da forma (x-a)^{2} desenvolve-se em x^{2}-2ax+a^{2}. Aqui a é um número real qualquer.
  • Isso serve para reconhecer quando um quadrático é um quadrado perfeito: comparar os coeficientes para ver se existe um a tal que x^{2}-2ax+a^{2} coincida com o polinômio dado.

Passo 3

Aplicando o reconhecimento ao nosso polinômio:
  • Comparando x^{2}-6x+9 com x^{2}-2ax+a^{2} vemos que 2a=6, logo a=3.
  • Também a^{2}=3^{2}=9, que coincide com o termo constante. Portanto é de fato um quadrado perfeito.
  • Logo temos a fatoração
x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}

Passo 4

Interpretando a inequação usando a fatoração:
  • Substituindo na desigualdade obtemos
(x-3)^{2}\geqslant 0
  • Lembrete básico e importante: para qualquer número real t vale t^{2}\geqslant 0. Exemplos rápidos: 2^{2}=4\geqslant 0, (-1)^{2}=1\geqslant 0, 0^{2}=0. Isso é porque o quadrado de um número não pode ser negativo.

Passo 5

Conclusão da desigualdade com respeito ao conjunto dos reais:
  • Como (x-3)^{2} é sempre maior ou igual a zero para qualquer x\in\mathbb{R}, a inequação (x-3)^{2}\geqslant 0 é satisfeita para todo x\in\mathbb{R}.
  • Observação sobre igualdade: temos (x-3)^{2}=0 somente quando x-3=0, isto é, em x=3; mas isso não exclui nenhum ponto porque a desigualdade é do tipo “maior ou igual”.

Passo 6

Método alternativo (curiosidade rápida, para a prova): usar o discriminante.
  • Para ax^{2}+bx+c o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Aqui
\Delta=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot9=36-36=0.
  • \Delta=0 indica raiz dupla x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{6}{2}=3. Como a=1>0, a parábola abre para cima e o quadrático é \geqslant 0 para todo x. Resultado compatível com a fatoração anterior.

Passo 7

Dica final e incentivo: em provas, ao ver um quadrático com termos x^{2}, x e constante, verifique se é um quadrado perfeito (forma (x-a)^{2}) — isso resolve rápido. Você está indo bem; identificar esse padrão salva tempo!

Resposta

\mathbb{R}

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