Responda:
Resolva, em \mathbb{R}, as inequações:
\frac{2 x^{2}+4 x+5}{3 x^{2}+7 x+2}<-2

Passo 1

Vou indicar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá a inequação racional
\frac{2x^{2}+4x+5}{3x^{2}+7x+2}<-2.
  • O que se pede: resolver essa inequação no conjunto dos números reais \mathbb{R}, ou seja, encontrar todos os valores de x\in\mathbb{R} que tornam verdadeira a desigualdade.
  • Informação importante a lembrar desde já: valores de x que anulam o denominador 3x^{2}+7x+2 são proibidos (não pertencem ao domínio), porque a expressão não está definida nesses pontos.

Passo 2

Transformar a inequação numa única fração comparada com zero (isso evita ter que multiplicar por um denominador de sinal desconhecido e possivelmente inverter a desigualdade).
Parto da inequação
\frac{2x^{2}+4x+5}{3x^{2}+7x+2}<-2.
Levo o -2 para o lado esquerdo com o mesmo denominador:
\frac{2x^{2}+4x+5}{3x^{2}+7x+2} + \frac{2(3x^{2}+7x+2)}{3x^{2}+7x+2} < 0.
Como as duas frações têm o mesmo denominador, somo numeradores:
\frac{2x^{2}+4x+5 + 2(3x^{2}+7x+2)}{3x^{2}+7x+2} < 0.
Calculo o numerador:
2x^{2}+4x+5 + 6x^{2}+14x+4 = 8x^{2}+18x+9.
Logo a inequação equivalente é
\frac{8x^{2}+18x+9}{3x^{2}+7x+2} < 0.

Passo 3

Fatorar numerador e denominador para identificar os zeros (pontos críticos) e construir o quadro de sinais.
Primeiro o denominador 3x^{2}+7x+2. Uso a fórmula quadrática para achar suas raízes: para uma quadrática ax^{2}+bx+c vale
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=3, b=7, c=2. O discriminante é
\Delta = 7^{2}-4\cdot3\cdot2 = 49-24 = 25,
\sqrt{\Delta}=5.
As raízes são
x=\frac{-7\pm5}{6}.
Portanto as raízes do denominador são
x=\frac{-7-5}{6}=-2,\qquad x=\frac{-7+5}{6}=-\frac{1}{3}.
Podemos escrever a fatoração (verificando com cálculo):
3x^{2}+7x+2 = 3\bigl(x+2\bigr)\bigl(x+\tfrac{1}{3}\bigr).
Agora o numerador 8x^{2}+18x+9. Calculo o discriminante:
\Delta = 18^{2}-4\cdot8\cdot9 = 324-288 = 36,\qquad \sqrt{\Delta}=6.
As raízes são
x=\frac{-18\pm6}{16}.
Isso dá
x=\frac{-18-6}{16}=-\frac{24}{16}=-\frac{3}{2},\qquad x=\frac{-18+6}{16}=-\frac{12}{16}=-\frac{3}{4}.
Logo o numerador fatora como
8x^{2}+18x+9 = 8\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)\bigl(x+\tfrac{3}{4}\bigr).

Passo 4

Listar os pontos críticos e ordenar na reta real. Esses pontos são as raízes do numerador (onde a fração pode ser zero) e as raízes do denominador (onde a fração é indefinida):
x=-2,\; x=-\tfrac{3}{2},\; x=-\tfrac{3}{4},\; x=-\tfrac{1}{3}.
Ordenando:
- \infty\quad <\quad -2\quad <\quad -\tfrac{3}{2}\quad <\quad -\tfrac{3}{4}\quad <\quad -\tfrac{1}{3}\quad <\quad +\infty.

Passo 5

Analisar o sinal da fração em cada intervalo formado por esses pontos. Como todas as raízes são simples (multiplicidade 1), o sinal de cada fator muda ao passar por sua raiz. A fração pode ser escrita, retirando fatores positivos constantes, como
\frac{8\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)\bigl(x+\tfrac{3}{4}\bigr)}{3\bigl(x+2\bigr)\bigl(x+\tfrac{1}{3}\bigr)}.
O sinal da constante 8/3 é positivo, então o sinal da fração é o mesmo do quociente
\frac{(x+\tfrac{3}{2})(x+\tfrac{3}{4})}{(x+2)(x+\tfrac{1}{3})}.
Agora verifico um valor em cada intervalo (você pode conferir mentalmente escolhendo um ponto fácil):
  • Intervalo x<-2. Tomo x=-3.
    • x+\tfrac{3}{2}=-1{,}5<0, x+\tfrac{3}{4}=-2{,}25<0 ⇒ numerador +.
    • x+2=-1<0, x+\tfrac{1}{3}=-2{,}666\ldots<0 ⇒ denominador +.
    • Razão +\,/+=+. Resultado: positivo.
  • Intervalo (-2,-\tfrac{3}{2}). Tomo x=-1{,}75.
    • Numerador: (-)\cdot(-)=+.
    • Denominador: (+)\cdot(-)=-.
    • Razão +/-=-. Resultado: negativo.
  • Intervalo (-\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{4}). Tomo x=-1{,}3.
    • Numerador: (+)\cdot(-)=-.
    • Denominador: (+)\cdot(-)=-.
    • Razão -/-=+. Resultado: positivo.
  • Intervalo (-\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{3}). Tomo x=-\tfrac{1}{2}.
    • Numerador: (+)\cdot(+)=+.
    • Denominador: (+)\cdot(-)=-.
    • Razão +/-=-. Resultado: negativo.
  • Intervalo x>-\tfrac{1}{3}. Tomo x=0.
    • Numerador: +, denominador: +, razão: +.
Resumo dos sinais por intervalo:
  • (-\infty,-2): positivo;
  • (-2,-\tfrac{3}{2}): negativo;
  • (-\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{4}): positivo;
  • (-\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{3}): negativo;
  • (-\tfrac{1}{3},+\infty): positivo.

Passo 6

Interpretação para a inequação \dfrac{8x^{2}+18x+9}{3x^{2}+7x+2}<0: queremos os intervalos onde a fração é negativa.
Dos sinais acima, os intervalos onde a fração é negativa são
(-2,-\tfrac{3}{2})\quad\text{e}\quad(-\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{3}).
Agora trato os pontos extremos: como a desigualdade é estrita <0, excluo pontos onde o numerador é zero (a fração vale 0) e também os pontos onde o denominador é zero (a fração é indefinida). Portanto:
  • x=-\tfrac{3}{2} e x=-\tfrac{3}{4} (zeros do numerador) não entram.
  • x=-2 e x=-\tfrac{1}{3} (zeros do denominador) também não entram.
Assim a solução final é a união dos dois intervalos abertos obtidos acima.

Resposta

(-2,-\tfrac{3}{2})\cup(-\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{3})

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