Responda:
Resolva, em
, as inequações:
Passo 1
Vou indicar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado dá a inequação racional
- O que se pede: resolver essa inequação no conjunto dos números reais
, ou seja, encontrar todos os valores de que tornam verdadeira a desigualdade. - Informação importante a lembrar desde já: valores de
que anulam o denominador são proibidos (não pertencem ao domínio), porque a expressão não está definida nesses pontos.
Passo 2
Transformar a inequação numa única fração comparada com zero (isso evita ter que multiplicar por um denominador de sinal desconhecido e possivelmente inverter a desigualdade).
Parto da inequação
Levo o
para o lado esquerdo com o mesmo denominador:
Como as duas frações têm o mesmo denominador, somo numeradores:
Calculo o numerador:
Logo a inequação equivalente é
Passo 3
Fatorar numerador e denominador para identificar os zeros (pontos críticos) e construir o quadro de sinais.
Primeiro o denominador
. Uso a fórmula quadrática para achar suas raízes: para uma quadrática
vale
Aqui
,
,
. O discriminante é
As raízes são
Portanto as raízes do denominador são
Podemos escrever a fatoração (verificando com cálculo):
Agora o numerador
. Calculo o discriminante:
As raízes são
Isso dá
Logo o numerador fatora como
Passo 4
Listar os pontos críticos e ordenar na reta real. Esses pontos são as raízes do numerador (onde a fração pode ser zero) e as raízes do denominador (onde a fração é indefinida):
Ordenando:
Passo 5
Analisar o sinal da fração em cada intervalo formado por esses pontos. Como todas as raízes são simples (multiplicidade 1), o sinal de cada fator muda ao passar por sua raiz. A fração pode ser escrita, retirando fatores positivos constantes, como
O sinal da constante
é positivo, então o sinal da fração é o mesmo do quociente
Agora verifico um valor em cada intervalo (você pode conferir mentalmente escolhendo um ponto fácil):
-
Intervalo
. Tomo . -
, ⇒ numerador . -
, ⇒ denominador . - Razão
. Resultado: positivo.
-
-
Intervalo
. Tomo . - Numerador:
. - Denominador:
. - Razão
. Resultado: negativo.
- Numerador:
-
Intervalo
. Tomo . - Numerador:
. - Denominador:
. - Razão
. Resultado: positivo.
- Numerador:
-
Intervalo
. Tomo . - Numerador:
. - Denominador:
. - Razão
. Resultado: negativo.
- Numerador:
-
Intervalo
. Tomo . - Numerador:
, denominador: , razão: .
- Numerador:
Resumo dos sinais por intervalo:
-
: positivo; -
: negativo; -
: positivo; -
: negativo; -
: positivo.
Passo 6
Interpretação para a inequação
: queremos os intervalos onde a fração é negativa.
Dos sinais acima, os intervalos onde a fração é negativa são
Agora trato os pontos extremos: como a desigualdade é estrita
, excluo pontos onde o numerador é zero (a fração vale
) e também os pontos onde o denominador é zero (a fração é indefinida). Portanto:
-
e (zeros do numerador) não entram. -
e (zeros do denominador) também não entram.
Assim a solução final é a união dos dois intervalos abertos obtidos acima.