Resolva as inequações a seguir em \mathbb{R} :
(3-2 x) \cdot(2 x-6) \cdot(x-5) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação em \mathbb{R}
(3-2x)\cdot(2x-6)\cdot(x-5)\leq 0.
Informações relevantes fornecidas:
\text{A expressão é um produto de três fatores lineares: }(3-2x),\;(2x-6),\;(x-5).ãéê
As raízes (valores que anulam algum fator) são os pontos onde o produto vale zero: valores de x que tornam algum dos fatores igual a zero. A solução pedida é o conjunto de x\in\mathbb{R} que tornam o produto menor ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar constantes multiplicativas para facilitar o estudo do sinal. Observe que
3-2x = -2\left(x-\tfrac{3}{2}\right)
e
2x-6 = 2(x-3).
Logo o produto original pode ser reescrito como
(3-2x)(2x-6)(x-5) = \bigl(-2\bigr)\cdot 2\cdot \left(x-\tfrac{3}{2}\right)\cdot (x-3)\cdot (x-5).
Multiplicando as constantes obtemos
(3-2x)(2x-6)(x-5) = -4\,(x-\tfrac{3}{2})(x-3)(x-5).

Passo 3

Explicação importante (regra usada): se temos uma inequação e multiplicamos ambos os lados por uma constante, o sinal da desigualdade só se inverte se a constante for negativa. Aqui a constante -4 é negativa. Então
-4\,(x-\tfrac{3}{2})(x-3)(x-5)\leq 0
é equivalente (ao multiplicar por -1/4, que também é negativa) a
(x-\tfrac{3}{2})(x-3)(x-5)\geq 0.
Portanto basta estudar onde o produto (x-\tfrac{3}{2})(x-3)(x-5) é maior ou igual a zero.

Passo 4

Identificamos os pontos críticos (raízes) do produto:
x=\tfrac{3}{2},\quad x=3,\quad x=5,
pois nesses valores algum fator zera e o produto vale zero.

Passo 5

Método para decidir o sinal do produto: construir um quadro de sinais usando os intervalos determinados pelas raízes. Os intervalos são
(-\infty,\tfrac{3}{2}),\quad \bigl(\tfrac{3}{2},3\bigr),\quad (3,5),\quad (5,\infty).
Em cada intervalo todos os fatores têm sinal constante, então basta testar um ponto de cada intervalo para obter o sinal do produto.

Passo 6

Escolhemos pontos fáceis para testar e calculamos o sinal dos três fatores em cada intervalo.
  1. Para x=0 (que está em (-\infty,\tfrac{3}{2})):
x-\tfrac{3}{2}<0,\quad x-3<0,\quad x-5<0.
Três negativos: produto é negativo. Logo
(x-\tfrac{3}{2})(x-3)(x-5)<0\quad\text{em }(-\infty,\tfrac{3}{2}).
  1. Para x=2 (que está em (\tfrac{3}{2},3)):
x-\tfrac{3}{2}>0,\quad x-3<0,\quad x-5<0.
Um positivo e dois negativos: produto é positivo (positivo \times negativo \times negativo = positivo). Logo
(x-\tfrac{3}{2})(x-3)(x-5)>0\quad\text{em }\bigl(\tfrac{3}{2},3\bigr).
  1. Para x=4 (que está em (3,5)):
x-\tfrac{3}{2}>0,\quad x-3>0,\quad x-5<0.
Dois positivos e um negativo: produto é negativo. Logo
(x-\tfrac{3}{2})(x-3)(x-5)<0\quad\text{em }(3,5).
  1. Para x=6 (que está em (5,\infty)):
x-\tfrac{3}{2}>0,\quad x-3>0,\quad x-5>0.
Três positivos: produto é positivo. Logo
(x-\tfrac{3}{2})(x-3)(x-5)>0\quad\text{em }(5,\infty).

Passo 7

Nossa inequação transformada exige
(x-\tfrac{3}{2})(x-3)(x-5)\geq 0,
ou seja, queremos os intervalos onde o produto é positivo ou zero. Pelos testes:
  • o produto é positivo em \bigl(\tfrac{3}{2},3\bigr) e em (5,\infty);
  • o produto é zero nos pontos x=\tfrac{3}{2},\,3,\,5.
Portanto os x que satisfazem a inequação são os que pertencem aos intervalos fechados/abertos adequados: incluímos os zeros porque a desigualdade é “maior ou igual a zero”.

Passo 8

Concluímos que a solução da inequação original é
\left[\tfrac{3}{2},\,3\right]\cup\left[5,\,\infty\right).
Para checar rapidamente com a expressão original: nos pontos x=\tfrac{3}{2},3,5 a expressão vale 0, e nos intervalos onde o produto transformado era positivo, o sinal do original era -4 vezes esse produto, o que torna o original \leq 0 exatamente nos intervalos encontrados. (Foi só a verificação final da lógica.)

Resposta

\left[\tfrac{3}{2},\,3\right]\cup\left[5,\,\infty\right)

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