Resolva as inequações a seguir em
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação em
Informações relevantes fornecidas:
As raízes (valores que anulam algum fator) são os pontos onde o produto vale zero: valores de
que tornam algum dos fatores igual a zero. A solução pedida é o conjunto de
que tornam o produto menor ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar constantes multiplicativas para facilitar o estudo do sinal. Observe que
e
Logo o produto original pode ser reescrito como
Multiplicando as constantes obtemos
Passo 3
Explicação importante (regra usada): se temos uma inequação e multiplicamos ambos os lados por uma constante, o sinal da desigualdade só se inverte se a constante for negativa. Aqui a constante
é negativa. Então
é equivalente (ao multiplicar por
, que também é negativa) a
Portanto basta estudar onde o produto
é maior ou igual a zero.
Passo 4
Identificamos os pontos críticos (raízes) do produto:
pois nesses valores algum fator zera e o produto vale zero.
Passo 5
Método para decidir o sinal do produto: construir um quadro de sinais usando os intervalos determinados pelas raízes. Os intervalos são
Em cada intervalo todos os fatores têm sinal constante, então basta testar um ponto de cada intervalo para obter o sinal do produto.
Passo 6
Escolhemos pontos fáceis para testar e calculamos o sinal dos três fatores em cada intervalo.
- Para
(que está em ):
Três negativos: produto é negativo. Logo
- Para
(que está em ):
Um positivo e dois negativos: produto é positivo (positivo
negativo
negativo
positivo). Logo
- Para
(que está em ):
Dois positivos e um negativo: produto é negativo. Logo
- Para
(que está em ):
Três positivos: produto é positivo. Logo
Passo 7
Nossa inequação transformada exige
ou seja, queremos os intervalos onde o produto é positivo ou zero. Pelos testes:
- o produto é positivo em
e em ; - o produto é zero nos pontos
.
Portanto os
que satisfazem a inequação são os que pertencem aos intervalos fechados/abertos adequados: incluímos os zeros porque a desigualdade é “maior ou igual a zero”.
Passo 8
Concluímos que a solução da inequação original é
Para checar rapidamente com a expressão original: nos pontos
a expressão vale
, e nos intervalos onde o produto transformado era positivo, o sinal do original era
vezes esse produto, o que torna o original
exatamente nos intervalos encontrados. (Foi só a verificação final da lógica.)