Sejam as funções reais f e g, definidas por
e
.
a. Obtenha as leis que definem
e
b. Calcule
e
c. Determine os valores do domínio da função
que produzem imagem 16.
a. Obtenha as leis que definem
b. Calcule
c. Determine os valores do domínio da função
Passo 1
O enunciado dá duas funções reais e pede três coisas. Informações fornecidas:
- A função
é . - A função
é .
Perguntas do enunciado:
a. Obter as leis (as expressões) de e
.
b. Calcular e
.
c. Determinar os valores do domínio de que produzem imagem
.
a. Obter as leis (as expressões) de
b. Calcular
c. Determinar os valores do domínio de
Observação (apenas listando dados): ambas
e
são polinômios, portanto definidas para todo número real (domínio =
). Neste passo não resolvo nada; só organizei o que o problema pede.
Passo 2
Explicando o que é composição de funções (isso vai ajudar a fazer a letra a): a composição
significa “aplicar
primeiro e depois aplicar
ao resultado”. Em notação, para cada
,
Ou seja, pegamos a expressão de
e substituímos no lugar de
na expressão de
. Vou aplicar isso passo a passo para obter
.
Passo 3
Calcular
por substituição:
- Primeiro escrevo
. - Substituo
no lugar de em :
Agora faço as contas passo a passo:
- Quadrado do binômio:
- O termo com
:
- Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Se quiser factorizar (útil depois):
Pequena explicação sobre fatoração usada: para fatorar
procure dois números cujo produto é
e cuja soma é
; esses números são
e
, daí
.
Passo 4
Agora calculo
do mesmo jeito: substituo
na expressão de
.
- Lembro que
e (aqui coloquei a entrada como para ficar claro). - Substituindo
:
Faço a distribuição do
:
Somando constantes:
Explicação breve: multiplicar um polinômio por um número significa multiplicar cada termo; depois somam-se termos semelhantes.
Passo 5
Respondendo a letra (a) com as expressões obtidas (já mostramos como chegamos nelas):
-
(ou ). -
.
Passo 6
Agora a letra (b): calcular valores numéricos.
Primeiro .
Método 1 (usando depois
):
Primeiro
Método 1 (usando
- Calculo
. - Agora
.
Portanto.
Método 2 (checagem usando a fórmula de): - Pela fórmula
, substituo :
confirma
.
Agora
.
- Calculo
. - Então
.
Também posso checar pela fórmula: para ,
Passo 7
Agora a letra (c): encontrar os valores do domínio de
que produzem imagem
.
Interpretação: queremos todos os
tais que
. Como
é polinomial (domínio
), não há restrição de domínio além dos reais. Então resolvemos a equação:
Usando a forma simplificada de
:
Passos para resolver essa equação quadrática:
- Levo tudo para um lado:
- Divido ambos os lados por
para simplificar (divisão por número não nulo preserva soluções):
- Tento fatorar: procuro dois números com produto
e soma . Esses números são e . Logo:
- Assim as soluções são:
Checagem rápida (sempre bom confirmar): já calculamos
. Para
,
confirma que ambos produzem imagem
.
Resposta
(a)
e
(b) e
(c) e
(b)
(c)