Sejam as funções reais f e g, definidas por f(x)=x^{2}+4 x-5 e g(x)=2 x-3.
a. Obtenha as leis que definem f \circ g(x) e g \circ f(x)
b. Calcule f \circ g(3) e g \circ f(2)
c. Determine os valores do domínio da função f \circ g(x) que produzem imagem 16.

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais e pede três coisas. Informações fornecidas:
  • A função f é f(x)=x^{2}+4x-5.
  • A função g é g(x)=2x-3.
Perguntas do enunciado:
a. Obter as leis (as expressões) de f\circ g(x) e g\circ f(x).
b. Calcular f\circ g(3) e g\circ f(2).
c. Determinar os valores do domínio de f\circ g(x) que produzem imagem 16.
Observação (apenas listando dados): ambas f e g são polinômios, portanto definidas para todo número real (domínio = \mathbb{R}). Neste passo não resolvo nada; só organizei o que o problema pede.

Passo 2

Explicando o que é composição de funções (isso vai ajudar a fazer a letra a): a composição f\circ g significa “aplicar g primeiro e depois aplicar f ao resultado”. Em notação, para cada x,
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Ou seja, pegamos a expressão de g(x) e substituímos no lugar de x na expressão de f(x). Vou aplicar isso passo a passo para obter f\circ g(x).

Passo 3

Calcular f\circ g(x)=f\bigl(g(x)\bigr) por substituição:
  • Primeiro escrevo g(x)=2x-3.
  • Substituo 2x-3 no lugar de x em f(x)=x^{2}+4x-5:
(f\circ g)(x)=\bigl(2x-3\bigr)^{2}+4\bigl(2x-3\bigr)-5.
Agora faço as contas passo a passo:
  • Quadrado do binômio:
\bigl(2x-3\bigr)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot(2x)\cdot(-3)+(-3)^{2}=4x^{2}-12x+9.
  • O termo com 4:
4\bigl(2x-3\bigr)=8x-12.
  • Somando tudo:
(f\circ g)(x)=\bigl(4x^{2}-12x+9\bigr)+(8x-12)-5.
Agrupando termos semelhantes:
(f\circ g)(x)=4x^{2}+(-12x+8x)+(9-12-5)=4x^{2}-4x-8.
Se quiser factorizar (útil depois):
(f\circ g)(x)=4\bigl(x^{2}-x-2\bigr)=4(x-2)(x+1).
Pequena explicação sobre fatoração usada: para fatorar x^{2}-x-2 procure dois números cujo produto é -2 e cuja soma é -1; esses números são -2 e 1, daí (x-2)(x+1).

Passo 4

Agora calculo g\circ f(x)=g\bigl(f(x)\bigr) do mesmo jeito: substituo f(x) na expressão de g.
  • Lembro que f(x)=x^{2}+4x-5 e g(u)=2u-3 (aqui coloquei a entrada como u para ficar claro).
  • Substituindo u=f(x):
(g\circ f)(x)=2\bigl(x^{2}+4x-5\bigr)-3.
Faço a distribuição do 2:
(g\circ f)(x)=2x^{2}+8x-10-3.
Somando constantes:
(g\circ f)(x)=2x^{2}+8x-13.
Explicação breve: multiplicar um polinômio por um número significa multiplicar cada termo; depois somam-se termos semelhantes.

Passo 5

Respondendo a letra (a) com as expressões obtidas (já mostramos como chegamos nelas):
  • (f\circ g)(x)=4x^{2}-4x-8 (ou 4(x-2)(x+1)).
  • (g\circ f)(x)=2x^{2}+8x-13.

Passo 6

Agora a letra (b): calcular valores numéricos.
Primeiro f\circ g(3).
Método 1 (usando g depois f):
  • Calculo g(3)=2\cdot 3-3=6-3=3.
  • Agora f\bigl(g(3)\bigr)=f(3)=3^{2}+4\cdot 3-5=9+12-5=16.
    Portanto f\circ g(3)=16.
    Método 2 (checagem usando a fórmula de f\circ g):
  • Pela fórmula (f\circ g)(x)=4x^{2}-4x-8, substituo x=3:
4\cdot 3^{2}-4\cdot 3-8=4\cdot 9-12-8=36-20=16,
confirma 16.
Agora g\circ f(2).
  • Calculo f(2)=2^{2}+4\cdot 2-5=4+8-5=7.
  • Então g\bigl(f(2)\bigr)=g(7)=2\cdot 7-3=14-3=11.
    Também posso checar pela fórmula (g\circ f)(x)=2x^{2}+8x-13: para x=2,
2\cdot 2^{2}+8\cdot 2-13=2\cdot 4+16-13=8+16-13=11.

Passo 7

Agora a letra (c): encontrar os valores do domínio de f\circ g(x) que produzem imagem 16.
Interpretação: queremos todos os x tais que (f\circ g)(x)=16. Como f\circ g é polinomial (domínio \mathbb{R}), não há restrição de domínio além dos reais. Então resolvemos a equação:
(f\circ g)(x)=16.
Usando a forma simplificada de f\circ g:
4x^{2}-4x-8=16.
Passos para resolver essa equação quadrática:
  • Levo tudo para um lado:
4x^{2}-4x-8-16=0 \quad\Rightarrow\quad 4x^{2}-4x-24=0.
  • Divido ambos os lados por 4 para simplificar (divisão por número não nulo preserva soluções):
x^{2}-x-6=0.
  • Tento fatorar: procuro dois números com produto -6 e soma -1. Esses números são -3 e 2. Logo:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)=0.
  • Assim as soluções são:
x=3\quad\text{ou}\quad x=-2.
Checagem rápida (sempre bom confirmar): já calculamos f\circ g(3)=16. Para x=-2,
g(-2)=2(-2)-3=-4-3=-7,
f\bigl(g(-2)\bigr)=f(-7)=(-7)^{2}+4(-7)-5=49-28-5=16,
confirma que ambos produzem imagem 16.

Resposta

(a) (f\circ g)(x)=4x^{2}-4x-8 e (g\circ f)(x)=2x^{2}+8x-13
(b) f\circ g(3)=16 e g\circ f(2)=11
(c) x=3 e x=-2

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