Resolva:
\int \tan ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \int \tan^{3} x\,dx.
Informações relevantes: a função integranda é \tan^{3} x; trata-se de uma primitiva (integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração C. A tarefa é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\tan^{3}x.

Passo 2

Vamos reescrever a potência de \tan de modo a usar uma substituição simples. Uma identidade trigonométrica útil é a relação pitagórica entre \tan e \operatorname{sec}:
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Não vou provar aqui a identidade (ela vem de \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 dividindo tudo por \cos^{2}x), mas vou usá-la porque é padrão e muito prática para integrar potências ímpares de \tan x.

Passo 3

Usando a identidade, escrevemos a integranda como produto:
\tan^{3}x=\tan^{2}x\cdot\tan x=(\operatorname{sec}^{2}x-1)\tan x.
Portanto
\int \tan^{3}x\,dx=\int (\operatorname{sec}^{2}x-1)\tan x\,dx.
Separando em duas integrais:
\int \tan^{3}x\,dx=\int \operatorname{sec}^{2}x\cdot\tan x\,dx-\int \tan x\,dx.

Passo 4

Para a primeira integral \int \operatorname{sec}^{2}x\cdot\tan x\,dx é natural usar a substituição
u=\tan x,
porque a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Calculamos o diferencial:
du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Com isso, a primeira integral vira uma integral em u:
\int \operatorname{sec}^{2}x\cdot\tan x\,dx=\int u\,du.

Passo 5

Integramos \int u\,du:
\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+\text{constante}=\frac{\tan^{2}x}{2}+\text{constante}.
Voltando ao problema original, ainda precisamos subtrair \int \tan x\,dx, então, até aqui:
\int \tan^{3}x\,dx=\frac{\tan^{2}x}{2}-\int \tan x\,dx + C,
onde C é uma constante (que podemos ajustar quando somarmos a primitiva de \tan x).

Passo 6

Agora integramos \int \tan x\,dx. Uma forma simples é lembrar que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e usar a substituição v=\cos x. Fazendo isso:
v=\cos x\quad\Rightarrow\quad dv=-\sin x\,dx.
Então
\int \tan x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-1}{v}\,dv = -\ln|v|+C = -\ln|\cos x|+C.
Outra forma equivalente é \int \tan x\,dx=\ln|\operatorname{sec} x|+C, pois -\ln|\cos x|=\ln\bigl|\operatorname{sec} x\bigr|.

Passo 7

Substituindo esse resultado em nossa expressão de antes:
\int \tan^{3}x\,dx=\frac{\tan^{2}x}{2}-\bigl(-\ln|\cos x|\bigr)+C =\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln|\operatorname{sec} x|+C,
onde usei a forma -\ln|\cos x|=\ln|\operatorname{sec} x| para escrever de maneira mais compacta.

Passo 8

(Facilitando a verificação rápida) Se você derivar \dfrac{\tan^{2}x}{2}-\ln|\operatorname{sec} x| obtemos:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\tan^{2}x}{2}\right)=\tan x\operatorname{sec}^{2}x, \qquad \frac{d}{dx}\!\bigl(-\ln|\operatorname{sec} x|\bigr)=-\tan x,
soma dá \tan x(\operatorname{sec}^{2}x-1)=\tan x\tan^{2}x=\tan^{3}x, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^{2}x}{2}-\ln|\operatorname{sec} x|+C

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