O enunciado pede calcular a integral indefinida \int \tan^{3} x\,dx.
Informações relevantes: a função integranda é \tan^{3} x; trata-se de uma primitiva (integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração C. A tarefa é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\tan^{3}x.
Passo 2
Vamos reescrever a potência de \tan de modo a usar uma substituição simples. Uma identidade trigonométrica útil é a relação pitagórica entre \tan e \operatorname{sec}:
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Não vou provar aqui a identidade (ela vem de \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 dividindo tudo por \cos^{2}x), mas vou usá-la porque é padrão e muito prática para integrar potências ímpares de \tan x.
Passo 3
Usando a identidade, escrevemos a integranda como produto: