Resolva as integrais abaixo:
\int_{-1}^{2}(2 x-1) \sqrt{x^{2}-x+\pi} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}(2 x-1)\sqrt{x^{2}-x+\pi}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função f(x)=(2x-1)\sqrt{x^{2}-x+\pi}.
  • O intervalo de integração é [-1,2].
  • Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Observação-chave (explicando a ideia de substituição de forma didática): note que a expressão dentro da raiz é x^{2}-x+\pi. Uma técnica muito comum e poderosa é fazer uma substituição do tipo
u=x^{2}-x+\pi,
porque a derivada de u com respeito a x costuma aparecer multiplicando a raiz. Vamos calcular du.

Passo 3

Calcular du. Derivando u em relação a x obtém-se
\frac{du}{dx}=2x-1.
Isto significa que
du=(2x-1)\,dx.
Essa igualdade mostra que o fator (2x-1)\,dx do integrando é exatamente du. Isso torna a substituição direta: o integrando torna-se \sqrt{u}\,du. Antes de trocar, precisamos transformar os limites de integração.

Passo 4

Calcular os novos limites em termos de u:
  • Para x=-1:
u(-1)=(-1)^{2}-(-1)+\pi=1+1+\pi=2+\pi.
  • Para x=2:
u(2)=2^{2}-2+\pi=4-2+\pi=2+\pi.
Portanto os dois limites correspondentes de u são iguais: u(-1)=u(2)=2+\pi.

Passo 5

Fazer a substituição na integral. Usando u=x^{2}-x+\pi e du=(2x-1)\,dx, a integral definida transforma-se em
\int_{-1}^{2}(2 x-1)\sqrt{x^{2}-x+\pi}\,dx=\int_{u(-1)}^{u(2)}\sqrt{u}\,du=\int_{2+\pi}^{2+\pi}\sqrt{u}\,du.
Uma integral definida cujos limites de integração são iguais tem valor zero, porque a integral representa a “área acumulada” entre os mesmos pontos — não há intervalo para acumular área. Logo
\int_{2+\pi}^{2+\pi}\sqrt{u}\,du=0.

Passo 6

Verificação alternativa (mostrar a primitiva explicitamente para aprender como checar): podemos também encontrar uma primitiva e avaliar a diferença entre valores nos extremos. Uma primitiva de \sqrt{u}=u^{1/2} é
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Voltando à variável x,
F(x)=\frac{2}{3}\bigl(x^{2}-x+\pi\bigr)^{3/2}
é uma primitiva de (2x-1)\sqrt{x^{2}-x+\pi} (pode-se checar pela regra da cadeia). Avaliando nos extremos:
F(2)=\frac{2}{3}\bigl(2^{2}-2+\pi\bigr)^{3/2}=\frac{2}{3}(2+\pi)^{3/2},
F(-1)=\frac{2}{3}\bigl{(-1}^{2}-(-1)+\pi\bigr)^{3/2}=\frac{2}{3}(2+\pi)^{3/2}.
Como F(2)=F(-1), a diferença F(2)-F(-1) é zero, confirmando o resultado anterior.

Resposta

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