Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - O intervalo de integração é
. - Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Observação-chave (explicando a ideia de substituição de forma didática): note que a expressão dentro da raiz é
. Uma técnica muito comum e poderosa é fazer uma substituição do tipo
porque a derivada de
com respeito a
costuma aparecer multiplicando a raiz. Vamos calcular
.
Passo 3
Calcular
. Derivando
em relação a
obtém-se
Isto significa que
Essa igualdade mostra que o fator
do integrando é exatamente
. Isso torna a substituição direta: o integrando torna-se
. Antes de trocar, precisamos transformar os limites de integração.
Passo 4
Calcular os novos limites em termos de
:
- Para
:
- Para
:
Portanto os dois limites correspondentes de
são iguais:
.
Passo 5
Fazer a substituição na integral. Usando
e
, a integral definida transforma-se em
Uma integral definida cujos limites de integração são iguais tem valor zero, porque a integral representa a “área acumulada” entre os mesmos pontos — não há intervalo para acumular área. Logo
Passo 6
Verificação alternativa (mostrar a primitiva explicitamente para aprender como checar): podemos também encontrar uma primitiva e avaliar a diferença entre valores nos extremos. Uma primitiva de
é
Voltando à variável
,
é uma primitiva de
(pode-se checar pela regra da cadeia). Avaliando nos extremos:
Como
, a diferença
é zero, confirmando o resultado anterior.
Resposta
0