Resolva as integrais abaixo:
\int_{-1}^{1} x^{2} e^{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} x^{2} e^{x^{3}} \, dx.
Informações dadas:
  • Limites de integração: x=-1 até x=1.
  • Integrando: x^{2} e^{x^{3}}.
    O objetivo é obter o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Observação útil (ideia principal): muitas integrais com exponencial compostos admitem uma substituição simples porque a derivada do expoente aparece multiplicando a exponencial. Aqui o expoente é x^{3}. Vamos checar a derivada de e^{x^{3}}:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{3}}\bigr)=e^{x^{3}}\cdot\frac{d}{dx}(x^{3})=e^{x^{3}}\cdot 3x^{2}.
Essa identidade vem da regra da cadeia: se F(x)=e^{g(x)}, então F'(x)=e^{g(x)} g'(x). No nosso integrando aparece x^{2} e^{x^{3}}, que é exatamente \tfrac{1}{3} da derivada acima:
x^{2} e^{x^{3}}=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{3}}\bigr).
Essa observação já indica que a integral será simples de calcular.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente para ficar formal (método de substituição):
Defina u=x^{3}. Então
du = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\,du.
Trocar os limites também: quando x=-1, u=(-1)^{3}=-1. Quando x=1, u=1^{3}=1.

Passo 4

Reescrever a integral em u:
\int_{-1}^{1} x^{2} e^{x^{3}}\,dx = \int_{u=-1}^{u=1} e^{u}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int_{-1}^{1} e^{u}\,du.
Aqui cada símbolo foi trocado: e^{x^{3}} virou e^{u} e x^{2}\,dx virou \tfrac{1}{3}\,du.

Passo 5

Calcular a integral de e^{u}, que é direta pelo Teorema Fundamental do Cálculo (a primitiva de e^{u} é e^{u}):
\frac{1}{3}\int_{-1}^{1} e^{u}\,du = \frac{1}{3}\bigl[e^{u}\bigr]_{-1}^{1} = \frac{1}{3}\bigl(e^{1}-e^{-1}\bigr).
Se quiser, pode escrever também como \dfrac{1}{3}\bigl(e-\tfrac{1}{e}\bigr) ou como \tfrac{2}{3}\operatorname{sinh}(1), mas a forma \dfrac{e-e^{-1}}{3} é clara e exata.

Passo 6

Breve interpretação e reforço: a razão pela qual isso foi rápido é que o integrando era proporcional à derivada da função exponencial composta e^{x^{3}}. Sempre que você vir algo como f'(x)e^{f(x)} ou, em geral, g'(x)F(g(x)) com F tendo primitiva conhecida, a substituição u=g(x) costuma resolver a integral com facilidade. Isso é um truque muito útil em provas rápidas.

Resposta

\dfrac{e-e^{-1}}{3}

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