Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Limites de integração:
até . - Integrando:
.
O objetivo é obter o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Observação útil (ideia principal): muitas integrais com exponencial compostos admitem uma substituição simples porque a derivada do expoente aparece multiplicando a exponencial. Aqui o expoente é
. Vamos checar a derivada de
:
Essa identidade vem da regra da cadeia: se
, então
. No nosso integrando aparece
, que é exatamente
da derivada acima:
Essa observação já indica que a integral será simples de calcular.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente para ficar formal (método de substituição):
Defina . Então
Defina
Trocar os limites também: quando
,
. Quando
,
.
Passo 4
Reescrever a integral em
:
Aqui cada símbolo foi trocado:
virou
e
virou
.
Passo 5
Calcular a integral de
, que é direta pelo Teorema Fundamental do Cálculo (a primitiva de
é
):
Se quiser, pode escrever também como
ou como
, mas a forma
é clara e exata.
Passo 6
Breve interpretação e reforço: a razão pela qual isso foi rápido é que o integrando era proporcional à derivada da função exponencial composta
. Sempre que você vir algo como
ou, em geral,
com
tendo primitiva conhecida, a substituição
costuma resolver a integral com facilidade. Isso é um truque muito útil em provas rápidas.