Resolva as integrais definidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral definida de
\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}}\,dx.
Esse problema envolve técnicas de integração por substituição para lidar com a raiz que depende de x^{3}+8.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3} + 8,
o que implica
du = 3x^{2}\,dx \quad\text{e, portanto}\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Essa escolha elimina o termo x^{3}+8 dentro da raiz, transformando o integrando em função de u.

Passo 3

Ajustamos os limites de integração para a nova variável:
Quando x = -1, temos
u = (-1)^{3} + 8 = 7.
Quando x = 1, temos
u = 1^{3} + 8 = 9.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+8}}\,dx = \int_{7}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int_{7}^{9} u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 5

Calculamos a primitiva de u^{-\tfrac12}. Sabemos que
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2u^{\tfrac12} + C.
Logo,
\frac{1}{3}\int_{7}^{9} u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{3}\bigl[2u^{\tfrac12}\bigr]_{7}^{9} = \frac{2}{3}\bigl(\sqrt{9}-\sqrt{7}\bigr) = 2 - \frac{2\sqrt{7}}{3}.

Resposta

\;2 - \frac{2\sqrt{7}}{3}

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