Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int \frac{\operatorname{arctg}(x)}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{arctg}(x)}{x^{2}}\,dx.
Como temos produto de funções (uma é \operatorname{arctg}(x) e outra é x^{-2}), vamos usar integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \operatorname{arctg}(x), \quad dv = x^{-2}\,dx.
Assim, u é a parte que simplifica ao derivar e dv a parte que integra facilmente.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)\,dx = \frac{1}{1+x^{2}}\,dx, \qquad v = \int x^{-2}\,dx = -\,\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando integração por partes:
\int \frac{\operatorname{arctg}(x)}{x^{2}}\,dx = u\,v - \int v\,du = -\,\frac{\operatorname{arctg}(x)}{x} - \int \Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)\frac{1}{1+x^{2}}\,dx
= -\,\frac{\operatorname{arctg}(x)}{x} + \int \frac{1}{x\,(1+x^{2})}\,dx.

Passo 5

Para integrar
\int \frac{1}{x\,(1+x^{2})}\,dx,
fazemos decomposição em frações parciais. Observamos que
\frac{1}{x\,(1+x^{2})} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^{2}},
pois
\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^{2}} = \frac{1+x^{2}-x^{2}}{x\,(1+x^{2})} = \frac{1}{x\,(1+x^{2})}.
Logo
\int \frac{1}{x\,(1+x^{2})}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx - \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C_{1}.

Passo 6

Substituindo de volta em \int \frac{\operatorname{arctg}(x)}{x^{2}}\,dx:
\int \frac{\operatorname{arctg}(x)}{x^{2}}\,dx = -\,\frac{\operatorname{arctg}(x)}{x} + \ln\bigl|x\bigr| - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

\int \frac{\operatorname{arctg}(x)}{x^{2}}\,dx = -\,\frac{\operatorname{arctg}(x)}{x} + \ln\bigl|x\bigr| - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C.

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