Resolva as integrais definidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int_{1}^{2} \frac{1}{x(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{2}\frac{1}{x(x+1)}\,dx
Este é um caso de integral de função racional. Vamos usar decomposição em frações parciais para simplificar a integração.

Passo 2

Escrevemos
\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}
Multiplicando ambos os lados por x(x+1), obtemos
1 = A(x+1) + Bx = (A+B)x + A.
Comparando coeficientes, vem
A + B = 0, \quad A = 1
logo
A = 1, \quad B = -1.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{1}^{2}\frac{1}{x(x+1)}\,dx = \int_{1}^{2}\Bigl(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln x, \quad \int\frac{1}{x+1}\,dx = \ln(x+1).
Logo,
\int_{1}^{2}\Bigl(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx = \Bigl[\ln x - \ln(x+1)\Bigr]_{1}^{2}.

Passo 5

Avaliação nos limites:
\Bigl(\ln 2 - \ln 3\Bigr) - \Bigl(\ln 1 - \ln 2\Bigr) = \ln 2 - \ln 3 - 0 + \ln 2 = 2\ln 2 - \ln 3 = \ln\!\Bigl(\frac{2^{2}}{3}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr).

Resposta

\ln\!\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)

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