Resolva as integrais definidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}\bigl(x^{2}+1\bigr)}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional e vamos usar a decomposição em frações parciais para expressar o integrando como soma de termos mais simples.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{x^{2}(x^{2}+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x^{2}+1)\), obtemos \[1 = A\,x\,(x^{2}+1) + B\,(x^{2}+1) + (Cx+D)\,x^{2}.
Expandindo e agrupando termos em potências de x:
1 = (A+C)\,x^{3} + (B+D)\,x^{2} + A\,x + B.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + C = 0,\\\ B + D = 0,\\\ A = 0,\\\ B = 1. \end{cases}
Logo A=0\], \(B=1, C=0 e D=-1. Portanto
\frac{1}{x^{2}(x^{2}+1)} =\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x}, \qquad \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
Logo uma antiderivada é
F(x) = -\frac{1}{x} - \arctan x.

Passo 4

Avaliaremos F de 1 a 2:
F(2) = -\tfrac12 - \arctan 2, \qquad F(1) = -1 - \arctan 1 = -1 - \tfrac{\pi}{4}.
Assim
\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}(x^{2}+1)}\,dx = F(2) - F(1) = \Bigl(-\tfrac12 - \arctan 2\Bigr) - \Bigl(-1 - \tfrac{\pi}{4}\Bigr) = \tfrac12 \;+\;\tfrac{\pi}{4} \;-\;\arctan 2.

Resposta

\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}(x^{2}+1)}\,dx = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} - \arctan 2.

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