Resolva as integrais definidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-5 x+16}{(2 x+1)(x-2)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-5x+16}{(2x+1)\,(x-2)^{2}}\,dx
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais de função racional com fator linear simples (2x+1) e fator linear repetido (x-2)^{2}, seguido de integração termo a termo usando logaritmo e potência.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais do integrando:
\frac{x^{2}-5x+16}{(2x+1)(x-2)^{2}} = \frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (2x+1)(x-2)^{2}, obtemos
x^{2}-5x+16 = A\,(x-2)^{2} \;+\; B\,(2x+1)(x-2)\;+\;C\,(2x+1).
Expandindo e coletando coeficientes de x^{2}, x e termo constante gera um sistema para A,B,C.

Passo 3

Ao expandir obtemos os coeficientes:
\begin{cases} A +2B = 1,\\\\ -4A -3B +2C = -5,\\\\ 4A -2B +C = 16. \end{cases}
Resolvendo esse sistema encontra-se
A = 3,\quad B = -1,\quad C = 2.

Passo 4

Com A,B,C conhecidos, reescrevemos a integral como
\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{3}{2x+1}-\frac{1}{x-2}+\frac{2}{(x-2)^{2}}\Bigr)dx.
Cada termo integra-se facilmente:
\int \frac{3}{2x+1}\,dx = \frac{3}{2}\ln|2x+1|,\quad \int -\frac{1}{x-2}\,dx = -\ln|x-2|,\quad \int \frac{2}{(x-2)^{2}}\,dx = -\frac{2}{x-2}.
Logo uma primitiva é
F(x)=\frac{3}{2}\ln|2x+1| \;-\;\ln|x-2|\;-\;\frac{2}{x-2}.

Passo 5

Avalia-mos F de 0 a 1:
F(1)=\frac{3}{2}\ln 3 - \ln1 +2 =\frac{3}{2}\ln3 +2,
F(0)=\frac{3}{2}\ln1 - \ln2 +1 = -\ln2 +1.
Portanto
\int_{0}^{1}\frac{x^{2}-5x+16}{(2x+1)(x-2)^{2}}\,dx =F(1)-F(0) =\Bigl(\tfrac32\ln3+2\Bigr)-\bigl(-\ln2+1\bigr) =1+\tfrac32\ln3+\ln2.
Podemos também combinar os logaritmos:
\tfrac32\ln3+\ln2 =\ln\bigl(3^{3/2}\bigr)+\ln2 =\ln\bigl(2\cdot3^{3/2}\bigr) =\ln\bigl(6\sqrt3\bigr).

Resposta

1 + \frac{3}{2}\ln3 + \ln2 \quad\text{ou}\quad 1 + \ln\bigl(6\sqrt3\bigr).

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