Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int_{1}^{3} \frac{\ln (x)}{x\left(1+\ln ^{2}(x)\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln(x)}{x\bigl(1+\ln^2(x)\bigr)}\,dx
e depois avaliar essa primitiva de x=1 a x=3. O conteúdo principal é a substituição t=\ln(x), que transforma a integral numa forma racional em t.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = \ln(x) \quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{dx}{x},
a integral indefinida vira
\int \frac{\ln(x)}{x\bigl(1+\ln^2(x)\bigr)}\,dx = \int \frac{t}{1+t^2}\,dt.
Para integrar \displaystyle \int \frac{t}{1+t^2}\,dt, notamos que a derivada de 1+t^2 é 2t. Logo,
\int \frac{t}{1+t^2}\,dt =\frac12\int \frac{2t}{1+t^2}\,dt =\frac12\ln\bigl(1+t^2\bigr)+C.
Voltando a x,
\boxed{ \int \frac{\ln(x)}{x\bigl(1+\ln^2(x)\bigr)}\,dx =\frac12\ln\bigl(1+(\ln x)^2\bigr)+C. }

Passo 3

Agora avaliamos de 1 a 3. Sejam
F(x)=\frac12\ln\bigl(1+(\ln x)^2\bigr).
Temos
F(3)=\frac12\ln\bigl(1+(\ln 3)^2\bigr), \quad F(1)=\frac12\ln\bigl(1+(\ln 1)^2\bigr)=\frac12\ln(1)=0.
Portanto,
\int_{1}^{3}\frac{\ln(x)}{x\bigl(1+\ln^2(x)\bigr)}\,dx =F(3)-F(1) =\frac12\ln\bigl(1+(\ln 3)^2\bigr).

Resposta

A integral indefinida é
\int \frac{\ln(x)}{x\bigl(1+\ln^2(x)\bigr)}\,dx =\frac12\ln\bigl(1+(\ln x)^2\bigr)+C,
e a definida vale
\int_{1}^{3}\frac{\ln(x)}{x\bigl(1+\ln^2(x)\bigr)}\,dx =\frac12\ln\bigl(1+(\ln 3)^2\bigr).

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