Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int_{\pi / 6}^{2 \pi / 3} \cos (x)\left(1+\operatorname{sen}^{2}(x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/6}^{2\pi/3}\cos(x)\bigl(1+\operatorname{sen}^2(x)\bigr)\,dx
Aplicaremos o método de substituição e, em seguida, o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen}(x) \quad\Longrightarrow\quad du = \cos(x)\,dx.
Assim a integral indefinida é
\int \cos(x)\bigl(1+\operatorname{sen}^2(x)\bigr)\,dx = \int (1+u^2)\,du = u + \frac{u^3}{3} + C = \operatorname{sen}(x) + \frac{\operatorname{sen}^3(x)}{3} + C.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos
F(x)=\operatorname{sen}(x)+\frac{\operatorname{sen}^3(x)}{3}
nos limites x=\pi/6 e x=2\pi/3.
Para x=2\pi/3: \operatorname{sen}(2\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, então
F\bigl(2\pi/3\bigr) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{3}\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{5\sqrt{3}}{8}.
Para x=\pi/6: \operatorname{sen}(\pi/6)=\tfrac12, então
F\bigl(\pi/6\bigr) = \frac12 + \frac{1}{3}\Bigl(\frac12\Bigr)^{3} = \frac12 + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8} = \frac12 + \frac{1}{24} = \frac{13}{24}.

Passo 4

A integral definida vale
F\bigl(2\pi/3\bigr) - F\bigl(\pi/6\bigr) = \frac{5\sqrt{3}}{8} - \frac{13}{24} = \frac{15\sqrt{3}-13}{24}.

Resposta

\int_{\pi/6}^{2\pi/3}\cos(x)\bigl(1+\operatorname{sen}^2(x)\bigr)\,dx = \frac{15\sqrt{3}-13}{24}.

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