Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int x \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx.
O conteúdo envolve técnicas de identidades trigonométricas e integração por partes.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\tfrac12\operatorname{sen}(2x)
para reescrever a integral:
\int x\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx =\tfrac12\int x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx.

Passo 3

Aplicamos integração por partes em \displaystyle \int x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx.
Escolhemos
u = x,\quad dv = \operatorname{sen}(2x)\,dx
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du = dx,\quad v = \int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\tfrac12\cos(2x).

Passo 4

Pela fórmula \int u\,dv = u\,v - \int v\,du temos
\int x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx = x\bigl(-\tfrac12\cos(2x)\bigr) - \int \bigl(-\tfrac12\cos(2x)\bigr)\,dx.
Isso dá
\int x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx = -\tfrac12\,x\cos(2x) + \tfrac12\int \cos(2x)\,dx.
E
\int \cos(2x)\,dx = \tfrac12\operatorname{sen}(2x).
Portanto
\int x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx = -\tfrac12\,x\cos(2x) + \tfrac12\cdot\tfrac12\,\operatorname{sen}(2x) = -\tfrac12\,x\cos(2x) + \tfrac14\operatorname{sen}(2x).

Passo 5

Voltando ao fator \tfrac12 que ficou fora,
\tfrac12\int x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx = \tfrac12\Bigl(-\tfrac12\,x\cos(2x) + \tfrac14\operatorname{sen}(2x)\Bigr) = -\tfrac{x}{4}\cos(2x) + \tfrac{1}{8}\operatorname{sen}(2x) + C.

Resposta

\int x\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx = -\tfrac{x}{4}\cos(2x) + \tfrac{1}{8}\operatorname{sen}(2x) + C.

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