Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int \frac{\operatorname{sec} ^{2}(x)}{\left(\operatorname{tg}^{2}(x)+9\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\bigl(\tan^{2}(x)+9\bigr)^{3/2}}\,dx.
Este é um caso clássico de substituição, pois vemos \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx e \tan(x) dentro de uma expressão. Vamos usar a técnica de mudança de variável.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \tan(x), \quad du = \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx,
a integral fica
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\bigl(\tan^{2}(x)+9\bigr)^{3/2}}\,dx = \int \frac{du}{\bigl(u^{2}+9\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

Agora precisamos calcular
\int \frac{du}{\bigl(u^{2}+9\bigr)^{3/2}}.
Usamos a fórmula padrão
\int \frac{du}{\bigl(u^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{u}{a^{2}\sqrt{u^{2}+a^{2}}}+C.
Aqui a^{2}=9, logo a=3. Assim,
\int \frac{du}{\bigl(u^{2}+9\bigr)^{3/2}} =\frac{u}{9\sqrt{u^{2}+9}}+C.

Passo 4

Voltando à variável original \,u=\tan(x), obtemos
\frac{\tan(x)}{9\sqrt{\tan^{2}(x)+9}}+C.

Resposta

\boxed{\int \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\bigl(\tan^{2}(x)+9\bigr)^{3/2}}\,dx =\frac{\tan(x)}{9\sqrt{\tan^{2}(x)+9}}+C.}

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