Resolva as integrais indefinidas abaixo, utilizando o método de substituição trigonométrica:
\int \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{3}}\,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição típica para raízes do tipo \sqrt{a^2 - x^2}, ou seja,
x = 2\sin\theta,
que nos permitirá transformar a raiz em função de \theta e converter a integral numa combinação de funções trigonométricas.

Passo 2

Fazendo
x = 2\sin\theta, \quad dx = 2\cos\theta\,d\theta,
temos ainda
\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta.
Além disso,
x^3 = (2\sin\theta)^3 = 8\sin^3\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{3}}\,dx = \int \frac{2\cos\theta}{8\sin^3\theta}\,\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr) = \int \frac{4\cos^2\theta}{8\sin^3\theta}\,d\theta = \frac12 \int \frac{\cos^2\theta}{\sin^3\theta}\,d\theta.

Passo 4

Escrevemos \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta e obtemos
\frac12\int \frac{1 - \sin^2\theta}{\sin^3\theta}\,d\theta = \frac12\int\Bigl(\csc^3\theta - \csc\theta\Bigr)\,d\theta.

Passo 5

Lembrando as primitivas:
\int \csc^3\theta\,d\theta = -\frac12\,\csc\theta\,\cot\theta -\frac12\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C_1,
\int \csc\theta\,d\theta = -\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C_2.
Logo,
\int\Bigl(\csc^3\theta - \csc\theta\Bigr)\,d\theta = -\frac12\,\csc\theta\,\cot\theta -\frac12\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| +\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C.

Passo 6

Agrupando e lembrando do fator \tfrac12:
\frac12\int\Bigl(\csc^3\theta - \csc\theta\Bigr)\,d\theta = -\frac14\,\csc\theta\,\cot\theta +\frac14\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C.

Passo 7

Voltando a x:
\csc\theta = \frac1{\sin\theta} = \frac2{x}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}.
Então
-\frac14\,\csc\theta\,\cot\theta = -\frac14\cdot\frac{2}{x}\cdot\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x} = -\frac12\,\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x^2},
e
\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| = \ln\Bigl|\frac{2}{x} + \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}\Bigr| = \ln\Bigl|\frac{2 + \sqrt{4 - x^2}}{x}\Bigr|.

Resposta

\boxed{ \int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{3}}\,dx = -\frac12\,\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x^2} + \frac14\ln\Bigl|\frac{2 + \sqrt{4 - x^2}}{x}\Bigr| + C. }

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