Resolva as integrais indefinidas:
\int-\frac{1}{x^{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int -\frac{1}{x^{5}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integranda é -\dfrac{1}{x^{5}}.
  • A variável de integração é x.
  • x não pode ser zero (a expressão não está definida em x=0), portanto a primitiva vale em intervalos que não atravessem 0.
  • A resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Reescrever a integranda usando potências facilita o uso da regra de potências. Usando a propriedade de expoentes,
\frac{1}{x^{5}} = x^{-5},
portanto a integral fica
\int -\frac{1}{x^{5}}\,dx = \int -x^{-5}\,dx.

Passo 3

Lembrete da regra de integração que vamos usar (regra de potência):
  • Para qualquer número real n diferente de -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicação curta: essa fórmula vem da regra da derivada \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Ao integrar, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente, invertendo a diferenciação.

Passo 4

Aplicar a regra de potência com n=-5. Calcula-se n+1=-4. Assim,
\int x^{-5}\,dx = \frac{x^{-4}}{-4} + C.
Mas a nossa integral tem um sinal negativo na frente: \int -x^{-5}\,dx = -\int x^{-5}\,dx. Logo
\int -x^{-5}\,dx = -\left(\frac{x^{-4}}{-4}\right) + C.

Passo 5

Simplificar o sinal:
-\left(\frac{x^{-4}}{-4}\right) = \frac{1}{4}x^{-4}.
Portanto uma forma da primitiva é
\frac{1}{4}x^{-4} + C.
Reescrevendo com potências positivas no denominador:
\frac{1}{4x^{4}} + C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando \dfrac{1}{4}x^{-4},
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^{-4}\right) = \frac{1}{4}\cdot(-4)x^{-5} = -x^{-5} = -\frac{1}{x^{5}},
que é exatamente a integranda. Perfeito!

Passo 7

Observação didática final e dica de prova:
  • A regra de potência não vale para n=-1; esse caso especial dá \int x^{-1}\,dx = \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • Em provas, sempre reescreva frações 1/x^{k} como x^{-k} para aplicar diretamente a regra de potência.

Resposta

\dfrac{1}{4x^{4}}+C

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