Resolva as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A integranda é
. - A variável de integração é
. -
não pode ser zero (a expressão não está definida em ), portanto a primitiva vale em intervalos que não atravessem . - A resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Reescrever a integranda usando potências facilita o uso da regra de potências. Usando a propriedade de expoentes,
portanto a integral fica
Passo 3
Lembrete da regra de integração que vamos usar (regra de potência):
- Para qualquer número real
diferente de ,
Explicação curta: essa fórmula vem da regra da derivada
. Ao integrar, aumentamos o expoente em
e dividimos pelo novo expoente, invertendo a diferenciação.
Passo 4
Aplicar a regra de potência com
. Calcula-se
. Assim,
Mas a nossa integral tem um sinal negativo na frente:
. Logo
Passo 5
Simplificar o sinal:
Portanto uma forma da primitiva é
Reescrevendo com potências positivas no denominador:
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando
,
que é exatamente a integranda. Perfeito!
Passo 7
Observação didática final e dica de prova:
- A regra de potência não vale para
; esse caso especial dá . - Em provas, sempre reescreva frações
como para aplicar diretamente a regra de potência.