Encontre uma primitiva das seguintes funções:
g(x)=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre uma primitiva da função g(x)=x^{2}".
Informações dadas:
  • A função é g(x)=x^{2}.
  • Não há outras restrições (domínio, ponto inicial, etc.). Logo espera-se a primitiva geral, isto é, uma família de antiderivadas com constante de integração.

Passo 2

Escolha do método: para integrar polinômios do tipo x^{n} (com n\neq -1), usa-se a regra de potência para primitivas (a versão integral da regra de potência). Essa é a forma mais direta e básica — é exatamente o caso de x^{2} — portanto é o método apropriado e rápido para a prova.

Passo 3

Apresentação da regra de potência para primitivas (ensino rápido):
Seja n um número real diferente de -1. A primitiva de x^{n} é dada por
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.
Explicando cada parte:
  • x^{n} é a potência de x com expoente n.
  • O símbolo \int indica que estamos procurando uma primitiva (anti-derivada).
  • O denominador n+1 aparece porque ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} recuperamos x^{n} (isso será mostrado no próximo passo).
  • C é necessário porque derivada de uma constante é zero, então todas as primitivas diferem por uma constante.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso: aqui n=2. Substituindo em \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C obtemos
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 5

Verificação (para garantir que a primitiva está correta): derivamos \dfrac{x^{3}}{3}+C e devemos obter x^{2}. Usando a regra de potência para derivadas: se h(x)=x^{m} então h'(x)=m x^{m-1}. Aplicando:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}+C\right)=\frac{1}{3}\cdot 3x^{2} + 0 = x^{2}.
Portanto a verificação confirma que \dfrac{x^{3}}{3}+C é realmente uma primitiva de x^{2}.

Passo 6

Comentário final e exemplo extra rápido para fixar: a primitiva é uma família de funções. Por exemplo, \dfrac{x^{3}}{3}, \dfrac{x^{3}}{3}+1, \dfrac{x^{3}}{3}-5 são todas primitivas de x^{2} — todas diferem apenas por uma constante C.

Resposta

\dfrac{x^{3}}{3}+C

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