Encontre uma primitiva das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre uma primitiva da função
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outras restrições (domínio, ponto inicial, etc.). Logo espera-se a primitiva geral, isto é, uma família de antiderivadas com constante de integração.
Passo 2
Escolha do método: para integrar polinômios do tipo
(com
), usa-se a regra de potência para primitivas (a versão integral da regra de potência). Essa é a forma mais direta e básica — é exatamente o caso de
— portanto é o método apropriado e rápido para a prova.
Passo 3
Apresentação da regra de potência para primitivas (ensino rápido):
Seja um número real diferente de
. A primitiva de
é dada por
Seja
onde
é a constante de integração.
Explicando cada parte:
Explicando cada parte:
-
é a potência de com expoente . - O símbolo
indica que estamos procurando uma primitiva (anti-derivada). - O denominador
aparece porque ao derivar recuperamos (isso será mostrado no próximo passo). -
é necessário porque derivada de uma constante é zero, então todas as primitivas diferem por uma constante.
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso caso: aqui
. Substituindo em
obtemos
Passo 5
Verificação (para garantir que a primitiva está correta): derivamos
e devemos obter
. Usando a regra de potência para derivadas: se
então
. Aplicando:
Portanto a verificação confirma que
é realmente uma primitiva de
.
Passo 6
Comentário final e exemplo extra rápido para fixar: a primitiva é uma família de funções. Por exemplo,
,
,
são todas primitivas de
— todas diferem apenas por uma constante
.