Resolva as integrais indefinidas a seguir: integral x^3+4 x+4x^2(x^2+4) d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos resolver a integral indefinida de x^3 + 4x + 4x^2(x^2 + 4) , dx. O conteúdo envolvido é cálculo integral, especificamente a divisão de frações algébricas e a técnica de frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que possamos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^3 + 4x + 4x^2(x^2 + 4). Podemos dividir o numerador pelo denominador ou tentar decompô-la em frações parciais. Aqui, vamos optar pela decomposição em frações parciais.

Passo 3

A fração dada pode ser expressa como a soma de termos simples. Suponhamos que:
x^3 + 4x + 4x^2(x^2 + 4) = Ax + Bx^2 + Cx + Dx^2 + 4
onde A, B, C e D são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x^2(x^2 + 4) para eliminar os denominadores:
x^3 + 4x + 4 = A x (x^2 + 4) + B (x^2 + 4) + (Cx + D) x^2

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
A x^3 + 4A x + B x^2 + 4B + C x^3 + D x^2
Agrupando os termos semelhantes:
(A + C) x^3 + (B + D) x^2 + 4A x + 4B

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes do lado esquerdo e direito da equação:
  • Para x^3: A + C = 1
  • Para x^2: B + D = 0
  • Para x: 4A = 4
  • Para o termo constante: 4B = 4

Passo 7

Resolvendo as equações:
  • Da equação 4A = 4, temos A = 1.
  • Da equação 4B = 4, temos B = 1.
  • Da equação A + C = 1, substituindo A = 1, temos 1 + C = 1, então C = 0.
  • Da equação B + D = 0, substituindo B = 1, temos 1 + D = 0, então D = -1.

Passo 8

Então, os valores encontrados são:
  • A = 1
  • B = 1
  • C = 0
  • D = -1
Substituindo de volta na decomposição:
x^3 + 4x + 4x^2(x^2 + 4) = 1x + 1x^2 + 0x -1x^2 + 4 = 1x + 1x^2 - 1x^2 + 4

Passo 9

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral ( 1x + 1x^2 - 1x^2 + 4 ) dx = integral 1x dx + integral 1x^2 dx - integral 1x^2 + 4 dx

Passo 10

Resolvendo cada integral:
  • integral 1x dx = ln|x| + C
  • integral 1x^2 dx = -1x + C
  • integral 1x^2 + 4 dx = 12 arctan( x2 ) + C

Passo 11

Portanto, somando todas as partes:
ln|x| - 1x - 12 arctan( x2 ) + C

Resposta

A integral solucionada é:
ln|x| - 1x - 12 arctan( x2 ) + C

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