Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos resolver a integral indefinida de
. O conteúdo envolvido é cálculo integral, especificamente a divisão de frações algébricas e a técnica de frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que possamos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Podemos dividir o numerador pelo denominador ou tentar decompô-la em frações parciais. Aqui, vamos optar pela decomposição em frações parciais.
Passo 3
A fração dada pode ser expressa como a soma de termos simples. Suponhamos que:
onde
,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes do lado esquerdo e direito da equação:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 7
Resolvendo as equações:
- Da equação
, temos . - Da equação
, temos . - Da equação
, substituindo , temos , então . - Da equação
, substituindo , temos , então .
Passo 8
Então, os valores encontrados são:
Substituindo de volta na decomposição:
Passo 9
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 10
Resolvendo cada integral:
Passo 11
Portanto, somando todas as partes:
Resposta
A integral solucionada é: