Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-5}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-5}},
que é do tipo com \sqrt{x^{2}-a^{2}}. Para resolver, vamos usar a substituição
\displaystyle x = \sqrt{5}\,\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Com x = \sqrt{5}\operatorname{sec}\theta, obtemos
dx = \sqrt{5}\,\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,
x^{2} = 5\operatorname{sec}^{2}\theta,
\sqrt{x^{2}-5} = \sqrt{5\tan^{2}\theta} = \sqrt{5}\,\tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral,
\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-5}} = \frac{\sqrt{5}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{\bigl(5\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)\bigl(\sqrt{5}\tan\theta\bigr)} = \frac{1}{5}\cos\theta\,d\theta.
Portanto, a integral vira
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-5}} = \frac{1}{5}\int \cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrando em \theta, temos
\frac{1}{5}\int \cos\theta\,d\theta = \frac{1}{5}\sin\theta + C.

Passo 5

Voltando para x: como \operatorname{sec}\theta = \frac{x}{\sqrt{5}}, num triângulo retângulo com hipotenusa x e cateto adjacente \sqrt{5}, o cateto oposto vale \sqrt{x^{2}-5}. Logo
\sin\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-5}}{x},
\frac{1}{5}\sin\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-5}}{5\,x}.

Resposta

\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-5}} = \frac{\sqrt{x^{2}-5}}{5\,x} + C.

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