Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
\int x^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x^{2}\sqrt{4 - x^{2}}\,dx
e sugere usar substituição trigonométrica. Vamos precisar lembrar que, ao ver \sqrt{a^{2}-x^{2}}, uma boa escolha é x = a\sin\theta. Aqui a=2, então faremos x=2\sin\theta.

Passo 2

Fazendo x = 2\sin\theta implica
dx = 2\cos\theta\,d\theta \qquad\text{e}\qquad \sqrt{4 - x^{2}} = \sqrt{4 - 4\sin^{2}\theta} = 2\cos\theta.
Substituindo na integral, temos
x^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx = (2\sin\theta)^{2}\,(2\cos\theta)\,(2\cos\theta\,d\theta) = 4\sin^{2}\theta\;\cdot 4\cos^{2}\theta\;d\theta =16\,\sin^{2}\theta\,\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Note que
\sin^{2}\theta\,\cos^{2}\theta =\Bigl(\tfrac12\sin2\theta\Bigr)^{2} =\tfrac14\sin^{2}2\theta.
Logo o integrando fica
16\,\sin^{2}\theta\,\cos^{2}\theta =16\cdot\tfrac14\,\sin^{2}2\theta =4\,\sin^{2}2\theta.
A integral passa a ser
\int 4\,\sin^{2}2\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade do semienÂngulo
\sin^{2}2\theta = \tfrac12\bigl(1 - \cos4\theta\bigr),
então
\int 4\,\sin^{2}2\theta\,d\theta =4\int \tfrac12(1 - \cos4\theta)\,d\theta =2\int (1 - \cos4\theta)\,d\theta =2\theta - 2\cdot\frac{\sin4\theta}{4} + C =2\theta - \frac{\sin4\theta}{2} + C.

Passo 5

Agora voltamos à variável x. Como x=2\sin\theta, temos
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Falta expressar \sin4\theta. Usamos
\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta =2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigl(\tfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}\bigr) =\tfrac{x\sqrt{4-x^{2}}}{2},
\cos2\theta = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta =\tfrac{4-x^{2}}{4}-\tfrac{x^{2}}{4} =\tfrac{4-2x^{2}}{4} =\tfrac{2-x^{2}}{2}.
Então
\sin4\theta = 2\sin2\theta\cos2\theta =2\cdot\frac{x\sqrt{4-x^{2}}}{2}\cdot\frac{2-x^{2}}{2} =\frac{x(2-x^{2})\sqrt{4-x^{2}}}{2}.
Logo
\frac{\sin4\theta}{2} =\frac{x(2-x^{2})\sqrt{4-x^{2}}}{4}.
Substituindo em 2\theta - \tfrac{\sin4\theta}{2}, obtemos a resposta em x.

Resposta

\int x^{2}\sqrt{4 - x^{2}}\,dx =2\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) -\frac{x(2 - x^{2})\sqrt{4 - x^{2}}}{4} + C.

Exercícios relacionados