Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a variável de integração é
, a função a integrar é
e devemos fornecer a primitiva mais uma constante de integração
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática, sem pular etapas). Quando temos uma função composta como
, existe uma “parte interna”
e uma “parte externa”
. A substituição consiste em definir uma nova variável para a parte interna, por exemplo
Isso nos permite transformar a integral numa forma mais simples. Aqui vamos explicar também o que acontece com o diferencial: derivando
em relação a
obtemos
o que nos dá a relação entre os diferenciais.
Passo 3
Expressar
em função de
. Da relação
isolamos
:
Esse é um passo crucial: trocar
por
permite reescrever totalmente a integral em termos de
.
Passo 4
Fazer a substituição na integral e simplificar. Substituindo
e
obtemos
Como
é constante, podemos colocá-la fora da integral:
Passo 5
Integrar
em
. Conhecemos a primitiva básica:
porque a derivada de
é
. Aqui
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável original
. Substituindo a primitiva em
e retornando
,
Reescrevendo em
,
Passo 7
Verificação (checagem rápida usando a derivada). Para ter certeza, derivamos a resposta:
pois aplicamos a regra da cadeia (a derivada de
é
). Isso confirma que a primitiva está correta.
Passo 8
Observação prática para a prova (dica amiga): sempre que você tiver
com
constante, a resposta é
No nosso caso
, daí o fator
. Respira fundo — você consegue aplicar isso rápido na prova!