Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
\int \cos (8 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos(8x)\,dx.
Informações dadas: a variável de integração é x, a função a integrar é \cos(8x) e devemos fornecer a primitiva mais uma constante de integração C. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática, sem pular etapas). Quando temos uma função composta como \cos(8x), existe uma “parte interna” 8x e uma “parte externa” \cos(\cdot). A substituição consiste em definir uma nova variável para a parte interna, por exemplo
u = 8x.
Isso nos permite transformar a integral numa forma mais simples. Aqui vamos explicar também o que acontece com o diferencial: derivando u em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=8,
o que nos dá a relação entre os diferenciais.

Passo 3

Expressar dx em função de du. Da relação \frac{du}{dx}=8 isolamos dx:
du = 8\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{8}.
Esse é um passo crucial: trocar dx por \frac{du}{8} permite reescrever totalmente a integral em termos de u.

Passo 4

Fazer a substituição na integral e simplificar. Substituindo u=8x e dx=\frac{du}{8} obtemos
\int \cos(8x)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{8}.
Como \frac{1}{8} é constante, podemos colocá-la fora da integral:
\int \cos(8x)\,dx = \frac{1}{8}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Integrar \cos(u) em u. Conhecemos a primitiva básica:
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
porque a derivada de \sin(u) é \cos(u). Aqui C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável original x. Substituindo a primitiva em u e retornando u=8x,
\frac{1}{8}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{8}\bigl(\sin(u)+C\bigr) = \frac{1}{8}\sin(u)+C.
Reescrevendo em x,
\int \cos(8x)\,dx = \frac{1}{8}\sin(8x) + C.

Passo 7

Verificação (checagem rápida usando a derivada). Para ter certeza, derivamos a resposta:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{8}\sin(8x)\right) = \frac{1}{8}\cdot \cos(8x)\cdot 8 = \cos(8x),
pois aplicamos a regra da cadeia (a derivada de \sin(8x) é \cos(8x)\cdot 8). Isso confirma que a primitiva está correta.

Passo 8

Observação prática para a prova (dica amiga): sempre que você tiver \int \cos(a x)\,dx com a constante, a resposta é
\int \cos(a x)\,dx = \frac{1}{a}\sin(a x) + C.
No nosso caso a=8, daí o fator \frac{1}{8}. Respira fundo — você consegue aplicar isso rápido na prova!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}\sin(8x)+C

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