Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a variável de integração é
; a função integranda é
. A operação pedida é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função. Observação útil: pela presença de
no denominador, estamos interessados em
(para evitar divisão por zero e garantir raiz real).
Passo 2
Escolhemos uma substituição que torne a expressão mais simples. Note que a exponencial tem
no expoente e também aparece
no denominador — isso sugere usar
Motivo: ao trocar para
a parte complicada
passa a ser a variável
, o que normalmente simplifica a integral.
Passo 3
Relacionamos
e
e calculamos
em termos de
. Como
, temos
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
ou seja
Passo 4
Substituímos na integral original: onde aparecia
colocamos
, e
substituímos por
. Então
Agora simplificamos o fator
que aparece no numerador e denominador:
Passo 5
Integramos a expressão simples obtida. Sabemos a fórmula básica
onde
é a constante de integração. Aplicando isso com o fator
,
Explicação rápida: a integral de
é
porque a derivada de
é
.
Passo 6
Voltamos à variável original
substituindo
na primitiva:
Passo 7
Verificação rápida (checar que é correto): derivando
em relação a
usando a regra da cadeia,
que é exatamente a integranda original. Logo a primitiva está correta.
Passo 8
Dica prática para a prova: quando você vê uma expressão como
junto com fatores envolvendo
ou
no integrando, tente
(ou
a parte complicada do expoente). Isso geralmente cancela termos e transforma a integral em algo direto. Um caso semelhante:
leva, pela mesma substituição, a
, que pede integração por partes — ou seja, substituição simplifica, e depois você escolhe a próxima técnica se precisar. Força aí, você tá indo bem!