Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
\int \frac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}}\,dy.
Informações dadas: a variável de integração é y; a função integranda é \dfrac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}}. A operação pedida é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função. Observação útil: pela presença de \sqrt{y} no denominador, estamos interessados em y>0 (para evitar divisão por zero e garantir raiz real).

Passo 2

Escolhemos uma substituição que torne a expressão mais simples. Note que a exponencial tem \sqrt{y} no expoente e também aparece \sqrt{y} no denominador — isso sugere usar
u=\sqrt{y}.
Motivo: ao trocar para u a parte complicada \sqrt{y} passa a ser a variável u, o que normalmente simplifica a integral.

Passo 3

Relacionamos u e y e calculamos dy em termos de du. Como u=\sqrt{y}, temos
y=u^{2}.
Derivando ambos os lados em relação a u obtemos
\frac{dy}{du}=2u,
ou seja
dy=2u\,du.

Passo 4

Substituímos na integral original: onde aparecia \sqrt{y} colocamos u, e dy substituímos por 2u\,du. Então
\int \frac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}}\,dy =\int \frac{e^{u}}{u}\cdot (2u\,du).
Agora simplificamos o fator u que aparece no numerador e denominador:
\int \frac{e^{u}}{u}\cdot (2u\,du)=\int 2e^{u}\,du.

Passo 5

Integramos a expressão simples obtida. Sabemos a fórmula básica
\int e^{u}\,du=e^{u}+C,
onde C é a constante de integração. Aplicando isso com o fator 2,
\int 2e^{u}\,du=2e^{u}+C.
Explicação rápida: a integral de e^{u} é e^{u} porque a derivada de e^{u} é e^{u}.

Passo 6

Voltamos à variável original y substituindo u=\sqrt{y} na primitiva:
2e^{u}+C = 2e^{\sqrt{y}}+C.

Passo 7

Verificação rápida (checar que é correto): derivando 2e^{\sqrt{y}} em relação a y usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dy}\bigl(2e^{\sqrt{y}}\bigr)=2e^{\sqrt{y}}\cdot\frac{d}{dy}(\sqrt{y}) =2e^{\sqrt{y}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}} =\frac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}},
que é exatamente a integranda original. Logo a primitiva está correta.

Passo 8

Dica prática para a prova: quando você vê uma expressão como e^{\sqrt{y}} junto com fatores envolvendo \sqrt{y} ou y no integrando, tente u=\sqrt{y} (ou u= a parte complicada do expoente). Isso geralmente cancela termos e transforma a integral em algo direto. Um caso semelhante: \int e^{\sqrt{y}}\,dy leva, pela mesma substituição, a \int 2u e^{u}\,du, que pede integração por partes — ou seja, substituição simplifica, e depois você escolhe a próxima técnica se precisar. Força aí, você tá indo bem!

Resposta

2e^{\sqrt{y}}+C

Exercícios relacionados