Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
\int x^{2} \operatorname{sec} ^{2}\left(x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.
Informações dadas e relevantes:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr), ou seja, um produto de x^{2} por \operatorname{sec}^{2} avaliado em x^{3}.
  • Queremos uma antiderivada (integral indefinida), o que implica acrescentar uma constante de integração C no final.

Passo 2

Explicando o Método da Substituição (fórmula e ideia): se fizermos uma mudança de variável do tipo \;u=g(x)\; com g diferenciável, então du=g'(x)\,dx. A técnica usa isso para transformar
\int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx
em
\int f(u)\,du,
que normalmente é mais simples de integrar. Aqui cada símbolo significa:
  • x é a variável original;
  • u é a nova variável definida por u=g(x);
  • g'(x) é a derivada de g em relação a x;
  • du é o diferencial correspondente a g'(x)\,dx.
Aplicando ao nosso caso: observamos a composição \operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr). Fazemos a escolha natural
u = x^{3}.
Agora calculamos du:
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx (que aparece no integrando):
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituímos na integral original: trocando x^{2}\,dx por \dfrac{1}{3}\,du e x^{3} por u, obtemos
\int x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos \operatorname{sec}^{2}(u). Lembrete importante: a derivada da função \tan(u) é \operatorname{sec}^{2}(u). Em símbolos,
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
Portanto uma antiderivada de \operatorname{sec}^{2}(u) é \tan(u). Assim
\frac{1}{3}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \frac{1}{3}\tan(u)+C.

Passo 5

Voltamos à variável original substituindo u=x^{3}:
\frac{1}{3}\tan(u)+C = \frac{1}{3}\tan\bigl(x^{3}\bigr)+C.

Passo 6

Verificação rápida (para você se sentir confiante): derivando o resultado encontramos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\tan\bigl(x^{3}\bigr)\right) = \frac{1}{3}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2} = x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr),
que é justamente o integrando original. Beleza — está correto!

Resposta

\dfrac{1}{3}\tan\bigl(x^{3}\bigr)+C

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