Resolva as integrais. ( 5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função dada. As informações fornecidas são:
- Queremos calcular
. - Não há limites de integração (é uma primitiva).
Passo 2
Idea-chave (explicação didática do método de substituição):
- Quando a integral tem uma função composta
multiplicada por algo que lembra a derivada de , é comum usar a substituição . - Lembrete do porquê: pela regra da cadeia, se
então . Se a integranda contém junto com uma função de , a substituição transforma a integral numa mais simples em . - Aqui, a derivada de
é , e temos exatamente um fator multiplicando . Portanto a substituição é natural.
Passo 3
Fazer a substituição:
Derivando ambos os lados:
Isolando
:
Passo 4
Substituir na integral original:
Passo 5
Calcular a antiderivada em
:
- Sabendo que uma primitiva de
é , temos
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável original
substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (confirmação didática):
- Derivando
pelo teorema da cadeia:
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.