Resolva as integrais. ( 5 pontos)
\int \operatorname{sen} x . \operatorname{sen} x(\cos x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função dada. As informações fornecidas são:
  • Queremos calcular \displaystyle \int \operatorname{sen}x\cdot\operatorname{sen}(\cos x)\,dx.
  • Não há limites de integração (é uma primitiva).

Passo 2

Idea-chave (explicação didática do método de substituição):
  • Quando a integral tem uma função composta \operatorname{sen}(\cos x) multiplicada por algo que lembra a derivada de \cos x, é comum usar a substituição u=\cos x.
  • Lembrete do porquê: pela regra da cadeia, se u=g(x) então du=g'(x)\,dx. Se a integranda contém g'(x)\,dx junto com uma função de g(x), a substituição transforma a integral numa mais simples em u.
  • Aqui, a derivada de \cos x é \dfrac{d}{dx}\cos x = -\operatorname{sen}x, e temos exatamente um fator \operatorname{sen}x multiplicando \operatorname{sen}(\cos x). Portanto a substituição u=\cos x é natural.

Passo 3

Fazer a substituição:
u=\cos x.
Derivando ambos os lados:
du = -\operatorname{sen}x\,dx.
Isolando \operatorname{sen}x\,dx:
\operatorname{sen}x\,dx = -du.

Passo 4

Substituir na integral original:
\int \operatorname{sen}x\cdot\operatorname{sen}(\cos x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot(-du) = -\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Calcular a antiderivada em u:
  • Sabendo que uma primitiva de \operatorname{sen}u é -\cos u, temos
-\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\bigl(-\cos u\bigr) + C = \cos u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável original x substituindo u=\cos x:
\cos u + C = \cos(\cos x) + C.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação didática):
  • Derivando \cos(\cos x) pelo teorema da cadeia:
\frac{d}{dx}\cos(\cos x) = -\sin(\cos x)\cdot\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin(\cos x)\cdot(-\sin x) = \sin(\cos x)\sin x,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\cos(\cos x)+C

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