Resolva as integrais. ( 5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o integrando usando a identidade de quadrado da soma:
Aplicando com
e
obtemos
Passo 3
Usando a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral), quebramos a integral em três partes:
Explicando a propriedade: para funções
integráveis e constantes
, vale
e
.
Passo 4
Agora precisamos de primitivas (antiderivadas):
- Para
a primitiva é , porque . Aqui dá primitiva . - Para
a primitiva é . - Para
a primitiva é (regra do polinômio: primitiva de constante é ).
Portanto uma primitiva conjunta é
Passo 5
Avaliaremos a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
.
Calculemos:
Calculemos:
Subtraindo,
Passo 6
Verificação rápida por derivação: derivando
obtém-se
, que é exatamente o integrando. Tudo consistente. Uma aproximação numérica (só pra intuição) pode ser obtida substituindo
, mas a resposta exata é mais desejável em prova.