Resolva as integrais. ( 5 pontos)
\int_{0}^{1}\left(e^{x}+1\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\left(e^{x}+1\right)^{2}dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \left(e^{x}+1\right)^{2}.
  • Os limites de integração são 0 e 1.
    A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o integrando usando a identidade de quadrado da soma:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Aplicando com a=e^{x} e b=1 obtemos
\left(e^{x}+1\right)^{2}=e^{2x}+2e^{x}+1.

Passo 3

Usando a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral), quebramos a integral em três partes:
\int_{0}^{1}\left(e^{2x}+2e^{x}+1\right)dx = \int_{0}^{1}e^{2x}\,dx + 2\int_{0}^{1}e^{x}\,dx + \int_{0}^{1}1\,dx.
Explicando a propriedade: para funções f,g integráveis e constantes c, vale \int (f+g)=\int f+\int g e \int c f = c\int f.

Passo 4

Agora precisamos de primitivas (antiderivadas):
  • Para \int e^{ax}\,dx a primitiva é \dfrac{1}{a}e^{ax}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{a}e^{ax}\right)=e^{ax}. Aqui a=2 dá primitiva \dfrac{1}{2}e^{2x}.
  • Para \int e^{x}\,dx a primitiva é e^{x}.
  • Para \int 1\,dx a primitiva é x (regra do polinômio: primitiva de constante c é cx).
Portanto uma primitiva conjunta é
F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+2e^{x}+x.

Passo 5

Avaliaremos a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: \int_{0}^{1}f(x)\,dx=F(1)-F(0).
Calculemos:
F(1)=\frac{1}{2}e^{2}+2e^{1}+1=\frac{1}{2}e^{2}+2e+1,
F(0)=\frac{1}{2}e^{0}+2e^{0}+0=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}.
Subtraindo,
F(1)-F(0)=\left(\frac{1}{2}e^{2}+2e+1\right)-\frac{5}{2} =\frac{1}{2}e^{2}+2e-\frac{3}{2}.

Passo 6

Verificação rápida por derivação: derivando F(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}+2e^{x}+x obtém-se F'(x)=e^{2x}+2e^{x}+1, que é exatamente o integrando. Tudo consistente. Uma aproximação numérica (só pra intuição) pode ser obtida substituindo e\approx2{,}71828, mas a resposta exata é mais desejável em prova.

Resposta

\frac{1}{2}e^{2}+2e-\frac{3}{2}

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