Resolva as integrais utilizando substituições simples como
, etc.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Devemos usar uma substituição simples (por exemplo
ou similar). - Queremos o resultado indefinido (com constante de integração).
Passo 2
Motivação da substituição: quando temos uma potência de uma expressão linear do tipo
, uma substituição direta
simplifica a integral porque a derivada de
em relação a
é uma constante, o que permite trocar
por
facilmente. Aqui vamos escolher
Expliquei:
é uma nova variável que representa a expressão interna da potência. A ideia é reescrever toda a integral em termos de
e
.
Passo 3
Calcular
em função de
. Derivando
em relação a
:
Isolando
obtemos
Isso significa que toda aparição de
na integral será trocada por
, e toda aparição de
será trocada por
.
Passo 4
Fazer a substituição completa na integral. Substituindo
e
, a integral fica:
Fatorando a constante
para fora da integral:
Passo 5
Integrar em
. Usamos a regra de potência para integrais: para
com
, vale
Aqui
, então
Multiplicando pela constante
que estava fora:
Passo 6
Voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando o resultado devemos voltar ao integrando. Derivando
:
pois usamos a regra da cadeia: derivada de
é
vezes a derivada interna
. O produto dá exatamente o integrando, então está correto.
Passo 8
Observação final didática: em geral, para
com
e
, a integral é
Aqui
e
, então obtemos
, que é o mesmo resultado que encontramos.