Resolva as integrais utilizando substituições simples como u= x^{2}, u=3 x+1, etc.
\int(3 x+1)^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int (3x+1)^{5}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é (3x+1)^{5}.
  • Devemos usar uma substituição simples (por exemplo u=3x+1 ou similar).
  • Queremos o resultado indefinido (com constante de integração).

Passo 2

Motivação da substituição: quando temos uma potência de uma expressão linear do tipo ax+b, uma substituição direta u = ax+b simplifica a integral porque a derivada de u em relação a x é uma constante, o que permite trocar dx por du facilmente. Aqui vamos escolher
u = 3x+1.
Expliquei: u é uma nova variável que representa a expressão interna da potência. A ideia é reescrever toda a integral em termos de u e du.

Passo 3

Calcular du em função de dx. Derivando u em relação a x:
\frac{du}{dx}=3.
Isolando dx obtemos
dx = \frac{du}{3}.
Isso significa que toda aparição de dx na integral será trocada por \frac{du}{3}, e toda aparição de (3x+1) será trocada por u.

Passo 4

Fazer a substituição completa na integral. Substituindo (3x+1)=u e dx=\dfrac{du}{3}, a integral fica:
\int (3x+1)^{5}\,dx = \int u^{5}\cdot\frac{du}{3}.
Fatorando a constante \dfrac{1}{3} para fora da integral:
\int u^{5}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{5}\,du.

Passo 5

Integrar em u. Usamos a regra de potência para integrais: para \int u^{n}\,du com n\neq -1, vale
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=5, então
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C.
Multiplicando pela constante \dfrac{1}{3} que estava fora:
\frac{1}{3}\int u^{5}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{6}}{6} + C = \frac{u^{6}}{18} + C.

Passo 6

Voltar para a variável original x. Lembrando que u=3x+1, substituímos de volta:
\frac{u^{6}}{18} + C = \frac{(3x+1)^{6}}{18} + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando o resultado devemos voltar ao integrando. Derivando \dfrac{(3x+1)^{6}}{18}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{(3x+1)^{6}}{18}\right) = \frac{1}{18}\cdot 6(3x+1)^{5}\cdot 3 = (3x+1)^{5},
pois usamos a regra da cadeia: derivada de (3x+1)^{6} é 6(3x+1)^{5} vezes a derivada interna 3. O produto dá exatamente o integrando, então está correto.

Passo 8

Observação final didática: em geral, para \int (ax+b)^{n}\,dx com a\neq 0 e n\neq -1, a integral é
\int (ax+b)^{n}\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C.
Aqui a=3 e n=5, então obtemos \dfrac{(3x+1)^{6}}{3\cdot 6}=\dfrac{(3x+1)^{6}}{18}, que é o mesmo resultado que encontramos.

Resposta

\displaystyle \frac{(3x+1)^{6}}{18}+C

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