Aplique
ou
conforme apropriado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando uma substituição
ou
conforme apropriado. As informações dadas são: a função a integrar é
e o elemento de integração é
. Não faremos nenhuma outra alteração ainda — só identificamos o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Vamos decidir qual substituição é mais conveniente. A técnica de substituição funciona bem quando vemos uma parte da derivada de uma função presente no integrando. Note que a derivada de
é
, logo
aparece multiplicando
. Por isso escolher
é natural: teremos
proporcional a
e isso simplifica muito a integral. (Se usássemos
teríamos que reescrever
em função de
usando identidades, o que dá mais trabalho.)
Passo 3
Calculemos
a partir de
. Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Isolando
obtemos
Agora substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Integramos
. Lembre que a integral de
é
(para
). Aqui
, então
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 6
Fazemos uma checagem rápida derivando o resultado para ver se voltamos ao integrando. Diferenciando
que é exatamente o integrando. A constante desaparece na derivada, como esperado. Portanto o resultado está correto.