Aplique u=\sin x ou u=\cos x conforme apropriado.
\int \sin x \cos ^{5} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin x \cos^{5} x\,dx
usando uma substituição u=\sin x ou u=\cos x conforme apropriado. As informações dadas são: a função a integrar é \sin x \cos^{5} x e o elemento de integração é dx. Não faremos nenhuma outra alteração ainda — só identificamos o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Vamos decidir qual substituição é mais conveniente. A técnica de substituição funciona bem quando vemos uma parte da derivada de uma função presente no integrando. Note que a derivada de \cos x é -\sin x, logo \sin x\,dx aparece multiplicando \cos^{5}x. Por isso escolher
u=\cos x
é natural: teremos du proporcional a \sin x\,dx e isso simplifica muito a integral. (Se usássemos u=\sin x teríamos que reescrever \cos^{5}x em função de \sin x usando identidades, o que dá mais trabalho.)

Passo 3

Calculemos du a partir de u=\cos x. Diferenciando ambos os lados em relação a x,
du = -\sin x\,dx.
Isolando \sin x\,dx obtemos
\sin x\,dx = -du.
Agora substituímos \cos x = u e \sin x\,dx = -du na integral original:
\int \sin x \cos^{5} x\,dx = \int (u^{5})(-du) = -\int u^{5}\,du.

Passo 4

Integramos -\int u^{5}\,du. Lembre que a integral de u^{n} é \dfrac{u^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1). Aqui n=5, então
-\int u^{5}\,du = -\frac{u^{6}}{6} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltamos à variável original x substituindo u=\cos x:
-\frac{u^{6}}{6} + C = -\frac{\cos^{6} x}{6} + C.

Passo 6

Fazemos uma checagem rápida derivando o resultado para ver se voltamos ao integrando. Diferenciando
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{\cos^{6} x}{6}\right) = -\frac{1}{6}\cdot 6\cos^{5}x\cdot(-\sin x) = \sin x\,\cos^{5}x,
que é exatamente o integrando. A constante desaparece na derivada, como esperado. Portanto o resultado está correto.

Resposta

-\dfrac{\cos^{6}x}{6}+C

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