Resolva a integral dupla
integral duplaOmega e^-(x^2+y^2)2 d x d y
sendo Omega o conjunto x^2+y^2 <= 5, x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
integral duplaOmega e^-(x^2+y^2)2 , dx , dy
onde é o conjunto e .
A gente vai usar o conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente, coordenadas polares. Para isso, vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . A condição descreve um círculo com raio centrado na origem. Além disso, significa que estamos considerando apenas a metade direita desse círculo.
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde e .

Passo 3

Em coordenadas polares, a função da integral fica:
e^-r^22
E o diferencial de área se transforma em .
Além disso, a região em polares será definida por e para cobrir .

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
integral-pi2^pi2 integral0^raiz5 e^-r^22 cdot r , dr , dtheta
Isso separa a integral em duas partes: uma em e outra em .

Passo 5

Vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a integral0^raiz5 e^-r^22 cdot r , dr :
integral0^52 e^-u , du = -e^-u g|0^52 = 1 - e^-52
Aqui, fazemos uma substituição simples: seja , então . Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, resolvemos a parte externa da integral, que é em relação a integral-pi2^pi2 dtheta = pi :
pi (1 - e^-52)
Multiplicando os resultados das integrais, temos:

Resposta

A integral vale .

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