Resolva a integral:
\int \frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} \,dx
Isso cai no conteúdo de integrais definidas por substituição trigonométrica ou reconhecimento de derivada de função inversa. Vamos usar a substituição trigonométrica para simplificar o radical.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 3\sin\theta,
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dx = 3\cos\theta\,d\theta
e
\sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{9 - 9\sin^{2}\theta} = 3\cos\theta,
considerando \theta no intervalo em que \cos\theta\ge0.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{3\cos\theta}\bigl(3\cos\theta\,d\theta\bigr) = \int d\theta = \theta + C.

Passo 4

Voltando à variável x, usamos
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).
Portanto a primitiva é
\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

Resposta

\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C

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