Resolva a integral:
\int \frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}\, d x.
O conteúdo aqui é a integral que leva à função inversa do seno, pois sabemos que
\frac{d}{d x}\bigl[\arcsin(x/a)\bigr] =\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}.
Para ver isso com detalhes, vamos usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 3\sin(\theta), \quad d x = 3\cos(\theta)\,d\theta, \quad \sqrt{9 - x^{2}} = 3\cos(\theta),
temos
\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}\, d x = \int \frac{1}{3\cos(\theta)}\cdot 3\cos(\theta)\,d\theta = \int d\theta = \theta + C.

Passo 3

Voltando para x: como \sin(\theta)=x/3, então \theta=\arcsin(x/3). Logo a integral é
\arcsin\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

Resposta

\arcsin\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C

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