Resolva e inverta a matriz de coeficientes do sistema:
\left\{\begin{array}{l} w+x+y-z=2 \\ 2 w-x+3 z=1 \\ w+2 x-y=0 \\ 3 w-x+y+z=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas w,x,y,z\) e pede duas coisas: resolver o sistema (achar os valores de \(w,x,y,z\)) e inverter a matriz de coeficientes. As equações são: \[\begin{cases} w+x+y-z=2,\\[4pt] 2w-x+3z=1,\\[4pt] w+2x-y=0,\\[4pt] 3w-x+y+z=4. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Vetor incógnitas: \,(w,x,y,z)^{T}\,\]. - Matriz de coeficientes \(A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 0 & 3\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  • Vetor termo-constante b:
b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]4\end{pmatrix}.
O que é pedido:
  • Encontrar A^{-1}.
  • Encontrar a solução \,(w,x,y,z)^{T} do sistema.]

Passo 2

Método escolhido e por que:
Vou usar eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações de linha na matriz aumentada \bigl[A\,|\,I\,|\,b\bigr]. Isso faz duas coisas de uma vez: reduz A para a identidade e, na mesma sequência, transforma o bloco à direita que começa por I exatamente em A^{-1}; o último bloco transforma-se na solução x=A^{-1}b. Operações permitidas (explicação didática):
  • Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
  • Somar a um múltiplo de uma linha outra linha.
  • Trocar duas linhas.
    Essas operações preservam o conjunto de soluções. Se for possível transformar A em I, a matriz é invertível e o processo também fornece A^{-1}.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada inicial \bigl[A\,|\,I\,|\,b\bigr]. Cada entrada é mostrada em forma de linha \,R_i :
\left[\begin{array}{cccc|cccc|c} 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 2 & -1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminação de w nas linhas R_2,R_3,R_4 usando R_1 como pivô:
Faço as operações
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-3R_1.
Calculemos linha a linha (cada componente é calculado elemento a elemento):
  • R_2 fica \bigl[0,\,-3,\,-2,\;5\;|\;-2,\;1,\;0,\;0\;|\;-3\bigr].
  • R_3 fica \bigl[0,\;1,\,-2,\;1\;|\;-1,\;0,\;1,\;0\;|\;-2\bigr].
  • R_4 fica \bigl[0,\,-4,\,-2,\;4\;|\;-3,\;0,\;0,\;1\;|\;-2\bigr].
    A matriz agora é
\left[\begin{array}{cccc|cccc|c} 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & -3 & -2 & 5 & -2 & 1 & 0 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & -4 & -2 & 4 & -3 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].]

Passo 5

Melhorar o pivô da segunda coluna trocando R_2 e R_3 (porque R_3 tem 1, o que simplifica):
R_2\leftrightarrow R_3.
Agora
\left[\begin{array}{cccc|cccc|c} 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & -3 & -2 & 5 & -2 & 1 & 0 & 0 & -3\\[4pt] 0 & -4 & -2 & 4 & -3 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].]

Passo 6

Zerar as outras entradas da coluna 2 usando o novo pivô R_2:
Faço
R_1\leftarrow R_1-R_2,\qquad R_3\leftarrow R_3+3R_2,\qquad R_4\leftarrow R_4+4R_2.
Cálculos (elemento a elemento):
  • R_1 passa a \bigl[1,\,0,\,3,\,-2\;|\;2,\;0,\,-1,\;0\;|\;4\bigr].
  • R_3 passa a \bigl[0,\,0,\,-8,\;8\;|\;-5,\;1,\;3,\;0\;|\,-9\bigr].
  • R_4 passa a \bigl[0,\,0,\,-10,\;8\;|\;-7,\;0,\;4,\;1\;|\,-10\bigr].
    Matriz atual:
\left[\begin{array}{cccc|cccc|c} 1 & 0 & 3 & -2 & 2 & 0 & -1 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -8 & 8 & -5 & 1 & 3 & 0 & -9\\[4pt] 0 & 0 & -10 & 8 & -7 & 0 & 4 & 1 & -10 \end{array}\right].]

Passo 7

Pivô na coluna 3: simplifico R_3 dividindo por -8 para obter 1 como pivô:
R_3\leftarrow \frac{1}{-8}R_3.
Resultado (frações explícitas):
R_3=\bigl[0,0,1,-1\;|\;\tfrac{5}{8},\,-\tfrac{1}{8},\,-\tfrac{3}{8},\;0\;|\;\tfrac{9}{8}\bigr].

Passo 8

Zerar as outras entradas da coluna 3 usando o pivô R_3:
Faço
R_1\leftarrow R_1-3R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2+2R_3,\qquad R_4\leftarrow R_4+10R_3.
Calculemos as novas linhas:
  • R_1 fica \bigl[1,0,0,1\;|\;\tfrac{1}{8},\;\tfrac{3}{8},\;\tfrac{1}{8},\;0\;|\;\tfrac{5}{8}\bigr].
  • R_2 fica \bigl[0,1,0,-1\;|\;\tfrac{1}{4},\;-\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{4},\;0\;|\;\tfrac{1}{4}\bigr].
  • R_4 fica \bigl[0,0,0,-2\;|\;-\tfrac{3}{4},\;-\tfrac{5}{4},\;\tfrac{1}{4},\;1\;|\;\tfrac{5}{4}\bigr].
    A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{8} & \tfrac{3}{8} & \tfrac{1}{8} & 0 & \tfrac{5}{8}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -1 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} & 0 & \tfrac{1}{4}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -1 & \tfrac{5}{8} & -\tfrac{1}{8} & -\tfrac{3}{8} & 0 & \tfrac{9}{8}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -2 & -\tfrac{3}{4} & -\tfrac{5}{4} & \tfrac{1}{4} & 1 & \tfrac{5}{4} \end{array}\right].]

Passo 9

Pivô na coluna 4: divido R_4 por -2 para obter 1:
R_4\leftarrow \frac{1}{-2}R_4.
Isso dá
R_4=\bigl[0,0,0,1\;|\;\tfrac{3}{8},\;\tfrac{5}{8},\;-\tfrac{1}{8},\;-\tfrac{1}{2}\;|\;-\tfrac{5}{8}\bigr].

Passo 10

Zerar as outras entradas da coluna 4 usando o pivô R_4:
Faço
R_1\leftarrow R_1-R_4,\qquad R_2\leftarrow R_2+R_4,\qquad R_3\leftarrow R_3+R_4.
Cálculos finais linha a linha:
  • R_1 fica \bigl[1,0,0,0\;|\;-\tfrac{1}{4},\;-\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{2}\;|\;\tfrac{5}{4}\bigr].
  • R_2 fica \bigl[0,1,0,0\;|\;\tfrac{5}{8},\;\tfrac{3}{8},\;\tfrac{1}{8},\;-\tfrac{1}{2}\;|\;-\tfrac{3}{8}\bigr].
  • R_3 fica \bigl[0,0,1,0\;|\;1,\;\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{2}\;|\;\tfrac{1}{2}\bigr].
    Agora a parte esquerda é a identidade I_4, e os blocos à direita são A^{-1} (colunas 5–8) e a solução (última coluna).

Passo 11

Interpretação do resultado das operações (sem repetir a resposta final: a matriz à esquerda é I). A transformação realizada mostrou que A é invertível e que o bloco que começou como I transformou-se em A^{-1}; o último bloco é o vetor solução x=A^{-1}b.

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{5}{8} & \tfrac{3}{8} & \tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{3}{8} & \tfrac{5}{8} & -\tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}
w=\tfrac{5}{4},\quad x=-\tfrac{3}{8},\quad y=\tfrac{1}{2},\quad z=-\tfrac{5}{8}.]

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