O enunciado dá o sistema linear com incógnitas w,x,y,z\) e pede duas coisas: resolver o sistema (achar os valores de \(w,x,y,z\)) e inverter a matriz de coeficientes. As equações são:
\[\begin{cases} w+x+y-z=2,\\[4pt] 2w-x+3z=1,\\[4pt] w+2x-y=0,\\[4pt] 3w-x+y+z=4. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Vetor incógnitas: \,(w,x,y,z)^{T}\,\].
- Matriz de coeficientes \(A:
Método escolhido e por que:
Vou usar eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações de linha na matriz aumentada \bigl[A\,|\,I\,|\,b\bigr]. Isso faz duas coisas de uma vez: reduz A para a identidade e, na mesma sequência, transforma o bloco à direita que começa por I exatamente em A^{-1}; o último bloco transforma-se na solução x=A^{-1}b. Operações permitidas (explicação didática):
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
Somar a um múltiplo de uma linha outra linha.
Trocar duas linhas.
Essas operações preservam o conjunto de soluções. Se for possível transformar A em I, a matriz é invertível e o processo também fornece A^{-1}.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada inicial \bigl[A\,|\,I\,|\,b\bigr]. Cada entrada é mostrada em forma de linha \,R_i :
R_1 fica \bigl[1,0,0,0\;|\;-\tfrac{1}{4},\;-\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{2}\;|\;\tfrac{5}{4}\bigr].
R_2 fica \bigl[0,1,0,0\;|\;\tfrac{5}{8},\;\tfrac{3}{8},\;\tfrac{1}{8},\;-\tfrac{1}{2}\;|\;-\tfrac{3}{8}\bigr].
R_3 fica \bigl[0,0,1,0\;|\;1,\;\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{2}\;|\;\tfrac{1}{2}\bigr].
Agora a parte esquerda é a identidade I_4, e os blocos à direita são A^{-1} (colunas 5–8) e a solução (última coluna).
Passo 11
Interpretação do resultado das operações (sem repetir a resposta final: a matriz à esquerda é I). A transformação realizada mostrou que A é invertível e que o bloco que começou como I transformou-se em A^{-1}; o último bloco é o vetor solução x=A^{-1}b.