(Circuitos elétricos) Encontre as correntes I_{1}, I_{2}, I_{3} :
\left\{\begin{array}{l} I_{1}-I_{2}+I_{3}=0 \\ 2 I_{1}+3 I_{2}=6 \\ I_{2}-2 I_{3}=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as correntes I_{1}, I_{2}, I_{3}\) que satisfazem o sistema de equações: \[\begin{cases} I_{1}-I_{2}+I_{3}=0,\\[4pt] 2I_{1}+3I_{2}=6,\\[4pt] I_{2}-2I_{3}=-1. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • Três equações lineares envolvendo as incógnitas I_{1}, I_{2}, I_{3}\]. - O objetivo é obter valores numéricos para \(I_{1}, I_{2}, I_{3}.]

Passo 2

Vamos usar o método da substituição porque uma das equações (a terceira) já está isolada convenientemente em termos de duas incógnitas, o que facilita expressar uma variável em função da outra e substituir nas demais. O método da substituição consiste em:
  • isolar uma variável numa equação;
  • substituir essa expressão nas outras equações;
  • resolver o sistema reduzido; e
  • voltar (retro-substituir) para encontrar as demais variáveis.

Passo 3

Isolar I_{2} a partir da terceira equação. A terceira equação é
I_{2}-2I_{3}=-1.
Somando 2I_{3} aos dois lados obtemos
I_{2}=2I_{3}-1.

Passo 4

Substituir a expressão de I_{2} (obtida no passo anterior) na primeira equação para escrever I_{1} em função de I_{3}. A primeira equação é
I_{1}-I_{2}+I_{3}=0.
Substituindo I_{2}=2I_{3}-1 resulta
I_{1}-(2I_{3}-1)+I_{3}=0.
Agora simplificamos termo a termo: o parêntese dá -2I_{3}+1, então
I_{1}-2I_{3}+1+I_{3}=0.
Agrupando os termos em I_{3}:
I_{1}-I_{3}+1=0.
Isolando I_{1} temos
I_{1}=I_{3}-1.

Passo 5

Agora substituímos I_{1} e I_{2} nas segunda equação para encontrar I_{3}. A segunda equação é
2I_{1}+3I_{2}=6.
Substituindo I_{1}=I_{3}-1 e I_{2}=2I_{3}-1 obtemos
2(I_{3}-1)+3(2I_{3}-1)=6.

Passo 6

Desenvolvendo e simplificando a equação do passo anterior:
Primeiro expandimos:
2I_{3}-2 + 6I_{3}-3 = 6.
Somando os termos em I_{3} e os termos constantes:
(2I_{3}+6I_{3}) + (-2-3) = 6,
logo
8I_{3}-5=6.
Somando 5 aos dois lados:
8I_{3}=11.
Dividindo por 8:
I_{3}=\frac{11}{8}.

Passo 7

Agora voltamos para calcular I_{2} usando I_{2}=2I_{3}-1. Substituindo I_{3}=\dfrac{11}{8}:
I_{2}=2\cdot\frac{11}{8}-1=\frac{22}{8}-1.
Escrevendo 1 como \dfrac{8}{8} e subtraindo:
I_{2}=\frac{22}{8}-\frac{8}{8}=\frac{14}{8}=\frac{7}{4}.

Passo 8

Agora encontramos I_{1} usando I_{1}=I_{3}-1. Substituindo I_{3}=\dfrac{11}{8}:
I_{1}=\frac{11}{8}-1=\frac{11}{8}-\frac{8}{8}=\frac{3}{8}.

Passo 9

Verificação rápida (substituir os valores nas equações originais):
  • Primeira equação: I_{1}-I_{2}+I_{3}=\dfrac{3}{8}-\dfrac{7}{4}+\dfrac{11}{8}.
    Converter \dfrac{7}{4}=\dfrac{14}{8}, então
\dfrac{3}{8}-\dfrac{14}{8}+\dfrac{11}{8}=\dfrac{3-14+11}{8}=\dfrac{0}{8}=0,
ok.
  • Segunda equação: 2I_{1}+3I_{2}=2\cdot\dfrac{3}{8}+3\cdot\dfrac{7}{4}=\dfrac{6}{8}+\dfrac{21}{4}.
    Transformando \dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4} e \dfrac{21}{4}=\dfrac{21}{4}, somando com denominador comum 4:
\frac{3}{4}+\frac{21}{4}=\frac{24}{4}=6,
ok.
  • Terceira equação: I_{2}-2I_{3}=\dfrac{7}{4}-2\cdot\dfrac{11}{8}=\dfrac{7}{4}-\dfrac{22}{8}.
    Escrevendo \dfrac{7}{4}=\dfrac{14}{8}:
\dfrac{14}{8}-\dfrac{22}{8}=\dfrac{-8}{8}=-1,
ok.
Como todas as três equações são satisfeitas, os valores estão corretos.

Resposta

I_{1}=\dfrac{3}{8}
I_{2}=\dfrac{7}{4}
I_{3}=\dfrac{11}{8}

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