Resolva k nas seguintes situações:
\left|\begin{array}{ccc}1 & k & 1 \\\\ 1 & -1 & k \\\\ 1 & -k & 1\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede os valores de k tais que a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & k & 1\\\\ 1 & -1 & k\\\\ 1 & -k & 1 \end{pmatrix}
seja singular, ou seja, \det A=0. Vamos usar operações elementares em linhas para simplificar o cálculo do determinante.

Passo 2

Para zerar os elementos abaixo de a_{11}=1, fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - R_1,
o que não altera o valor do determinante. Isso transforma A em
\begin{pmatrix} 1 & k & 1\\\\ 0 & -1-k & k-1\\\\ 0 & -2k & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora expandimos o determinante pela primeira coluna, aproveitando os zeros:
\det A = 1 \,\cdot\, \det\!\begin{pmatrix} -1-k & k-1\\\\ -2k & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix} -1-k & k-1\\\\ -2k & 0 \end{pmatrix} =(-1-k)\cdot0 \;-\;(k-1)(-2k) =2k(k-1).
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\det A = 2k(k-1).
Para \det A=0 temos
2k(k-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad k=0\;\text{ou}\;k=1.

Resposta

k=0 ou k=1.

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