Resolva k nas seguintes situações:
\left|\begin{array}{ccc}1 & k & 2 \\\\ -2 & k & -4 \\\\ 1 & -3 & -k\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede determinar os valores de k tais que
\begin{vmatrix} 1 & k & 2 \\\\ -2 & k & -4 \\\\ 1 & -3 & -k \end{vmatrix} =0.
O conteúdo principal aqui é o cálculo de determinante de matriz 3\times3 por expansão em cofatores.

Passo 2

Vamos expandir pela primeira linha:
\begin{vmatrix} 1 & k & 2 \\\\ -2 & k & -4 \\\\ 1 & -3 & -k \end{vmatrix} =1\cdot\begin{vmatrix}k & -4\\\ -3 & -k\end{vmatrix} -k\cdot\begin{vmatrix}-2 & -4\\\ 1 & -k\end{vmatrix} +2\cdot\begin{vmatrix}-2 & k\\\ 1 & -3\end{vmatrix}.

Passo 3

Agora, calculamos cada menor:
\begin{vmatrix}k & -4\\\ -3 & -k\end{vmatrix} =k\cdot(-k)-(-4)\cdot(-3)=-k^2-12,
\begin{vmatrix}-2 & -4\\\ 1 & -k\end{vmatrix} =(-2)(-k)-(-4)\cdot1=2k+4,
\begin{vmatrix}-2 & k\\\ 1 & -3\end{vmatrix} =(-2)(-3)-k\cdot1=6-k.
Substituindo de volta, obtemos
(-k^2-12)\;-\;k(2k+4)\;+\;2(6-k) =-k^2-12-2k^2-4k+12-2k =-3k^2-6k.

Passo 4

Igualando a zero,
-3k^2-6k=0 \quad\Longrightarrow\quad -3k(k+2)=0
Dessa fatoração vêm as soluções \,k=0 ou \,k=-2.

Resposta

As soluções são k=0 e k=-2.

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