Resolva k nas seguintes situações:
\left|\begin{array}{ccc}k-1 & 2 & k \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 3 k & k+1 & 2 k\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}3 k & 2 k \\\\ 4 & -k\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de k tais que o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} k-1 & 2 & k\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 3k & k+1 & 2k \end{pmatrix}
seja igual ao determinante da matriz
B = \begin{pmatrix} 3k & 2k\\\\ 4 & -k \end{pmatrix}.
Vamos usar propriedades de determinantes: para A faremos expansão pelo primeiro vetor linha; para B usamos a regra do retângulo.

Passo 2

Calculemos \det A expandindo pela primeira linha:
\det A = (k-1)\begin{vmatrix}1 & -1\\[6pt]k+1 & 2k\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}0 & -1\\[4pt]3k & 2k\end{vmatrix} +k\begin{vmatrix}0 & 1\\[4pt]3k & k+1\end{vmatrix}.
Agora os menores:
\begin{vmatrix}1 & -1\k+1 & 2k\end{vmatrix} =1\cdot2k -(-1)(k+1)=2k+k+1=3k+1,
\begin{vmatrix}0 & -1\\\ 3k & 2k\end{vmatrix} =0\cdot2k -(-1)\cdot3k=3k,
\begin{vmatrix}0 & 1\\\ 3k & k+1\end{vmatrix} =0\cdot(k+1) -1\cdot3k=-3k.
Substituindo em \det A:
\det A = (k-1)(3k+1) -2\,(3k) + k\,(-3k) = (3k^2 -2k -1) -6k -3k^2 = -8k -1.]

Passo 3

Calculemos \det B pela regra do retângulo:
\det B = (3k)(-k) - (2k)(4) = -3k^2 -8k.

Passo 4

Igualando \det A e \det B:
-8k -1 = -3k^2 -8k \quad\Longrightarrow\quad 3k^2 -1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = \tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

k = \pm \tfrac{1}{\sqrt{3}}.

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