Resolva:
6)
\left(1+x^{2}\right) y^{3} d x-y^{2} x^{3} d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(1 + x^{2})\,y^{3}\,dx \;-\; y^{2}\,x^{3}\,dy \;=\;0
É uma equação de variáveis separáveis: vamos rearranjar para obter \tfrac{dy}{dx} e separar y de x.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação em forma de derivada:
(1 + x^{2})\,y^{3}\,dx \;=\; y^{2}\,x^{3}\,dy
dividindo por dx e por y^{2}, obtemos
(1 + x^{2})\,y \;=\; x^{3}\,\frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} \;=\;\frac{1 + x^{2}}{x^{3}}\,y.

Passo 3

Agora separam-se as variáveis y e x:
\frac{1}{y}\,dy \;=\;\frac{1 + x^{2}}{x^{3}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy \;=\;\Bigl(x^{-3} + x^{-1}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy \;=\;\int x^{-3}\,dx \;+\;\int x^{-1}\,dx
\ln|y| \;=\; -\frac{1}{2x^{2}} \;+\;\ln|x| \;+\;C.

Passo 5

Isolando y, escrevemos
\ln|y| - \ln|x| \;=\; -\frac{1}{2x^{2}} + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\Bigl|\frac{y}{x}\Bigr| = -\frac{1}{2x^{2}} + C.
Exponenciando e definindo C_{1}=e^{C}, vem
\frac{y}{x} = C_{1}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{1}{2x^{2}}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = C_{1}\,x\,\exp\!\bigl(-\tfrac{1}{2x^{2}}\bigr).

Resposta

y = C\,x\,\exp\!\Bigl(-\frac{1}{2x^{2}}\Bigr),
em que C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados