Resolva:
4)
y^{\prime}=\left(2 x+y^{2}\right) / x y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{2x + y^2}{x\,y},
que envolve y e x. Para resolver, vamos reconhecer que essa equação pode ser simplificada e depois reduzida a uma equação linear por meio da substituição z=y^2.

Passo 2

Primeiro simplificamos o lado direito em termos de y e x:
\frac{2x + y^2}{x\,y} = \frac{2x}{x\,y} + \frac{y^2}{x\,y} = \frac{2}{y} + \frac{y}{x}.
Logo a equação fica
\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y} + \frac{y}{x}.

Passo 3

Para eliminar o termo 1/y, introduzimos a substituição
z = y^2.
Dessa forma
\frac{dz}{dx} = 2\,y\,\frac{dy}{dx}.
Substituindo \tfrac{dy}{dx} da equação original, temos
\frac{dz}{dx} = 2\,y\Bigl(\frac{2}{y} + \frac{y}{x}\Bigr) = 4 + \frac{2\,y^2}{x} = 4 + \frac{2\,z}{x}.

Passo 4

Reescrevendo, obtemos uma equação linear em z:
\frac{dz}{dx} - \frac{2}{x}\,z = 4.

Passo 5

Para resolver a equação linear
\frac{dz}{dx} - \frac{2}{x}z = 4
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-2\ln x) = x^{-2}.
Multiplicando toda a equação por x^{-2} temos
x^{-2}\frac{dz}{dx} - 2\,x^{-3}z = 4\,x^{-2},
que é equivalente a
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}z\bigr) = 4\,x^{-2}.
Integrando ambos os lados em x:
x^{-2}z = \int 4\,x^{-2}\,dx = -\frac{4}{x} + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por x^2:
z = C\,x^2 - 4x.

Passo 6

Voltando à variável original y, lembrando que z=y^2, obtemos a solução geral
y^2 = C\,x^2 - 4x \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \pm \sqrt{C\,x^2 - 4x}.

Resposta

y^2 = C\,x^2 - 4x,
ou seja
y(x) = \pm \sqrt{C\,x^2 - 4x},
com C constante de integração.

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