Resolva em \mathbb{R} as equações abaixo:
(2 x-4)^{2}+(x-3)^{2}=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
(2x-4)^{2}+(x-3)^{2}=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x e procuramos valores reais que satisfaçam a igualdade.
  • A expressão é uma soma de dois quadrados (2x-4)^{2} e (x-3)^{2}.

Passo 2

Um fato muito útil sobre quadrados (que vou explicar devagarinho): para todo número real t vale \,t^{2}\ge 0. Isso significa que um quadrado nunca é negativo; pode ser zero ou positivo. Consequência importante: se temos
a^{2}+b^{2}=0
com a,b\in\mathbb{R}, então necessariamente a^{2}=0 e b^{2}=0, porque a soma de dois números não-negativos só é zero quando cada um deles é zero. Em seguida isso implica a=0 e b=0.
Exemplo rápido para fixar: se t^{2}=0 então t=0. Se t^{2}=4 então t=\pm 2. Mas para a soma ser zero os termos têm que ser ambos zero.

Passo 3

Aplicando esse raciocínio à equação dada, temos que para
(2x-4)^{2}+(x-3)^{2}=0
ser verdadeira é preciso que simultaneamente
2x-4=0 \quad\text{e}\quad x-3=0.
Agora resolvo cada uma:
Resolver 2x-4=0:
2x=4\quad\Rightarrow\quad x=2.
Resolver x-3=0:
x=3.

Passo 4

As duas condições exigem que x seja ao mesmo tempo 2 e 3. Como 2\neq 3, não existe nenhum número real x que satisfaça ambas. Logo não há solução real obtida por esse caminho.

Passo 5

Para confirmar por outro método (útil em provas), podemos expandir e analisar a equação quadrática resultante. Expansão:
(2x-4)^{2}+(x-3)^{2}=4(x-2)^{2}+(x-3)^{2}=4(x^{2}-4x+4)+(x^{2}-6x+9).
Somando os termos:
4x^{2}-16x+16 + x^{2}-6x+9 = 5x^{2}-22x+25.
Portanto a equação é equivalente a
5x^{2}-22x+25=0.
Calculo do discriminante \Delta:
\Delta = (-22)^{2}-4\cdot 5\cdot 25 = 484-500 = -16.
Como \Delta<0, a equação quadrática não tem raízes reais. Isso confirma que não existem soluções em \mathbb{R}.

Resposta

Não há solução em \mathbb{R}.

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