Resolva em \mathbb{R} as equações abaixo:
\left(x^{2}-7 x+10\right)^{2}+\left(x^{2}-25\right)^{2}+(-x+5)^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\left(x^{2}-7 x+10\right)^{2}+\left(x^{2}-25\right)^{2}+(-x+5)^{2}=0.
As informações relevantes que temos são as três parcelas ao quadrado somadas e igualadas a zero. A pergunta é: quais valores de x\in\mathbb{R} satisfazem essa igualdade?

Passo 2

Primeiro conceito importante: para qualquer número real y vale y^{2}\ge 0, ou seja, um quadrado real é sempre não negativo. Portanto a soma de termos ao quadrado também é não negativa. Assim, se uma soma de termos não negativos é igual a zero, cada termo da soma tem de ser zero. Aplicando isso ao nosso caso, devemos ter simultaneamente:
x^{2}-7x+10=0,\qquad x^{2}-25=0,\qquad -x+5=0.
Isto reduz o problema a resolver essas três equações simultaneamente.

Passo 3

Resolver \,x^{2}-7x+10=0\,. Vou fatorar o polinômio quadrático: procuro dois números cujo produto seja 10 e cuja soma seja -7. São -5 e -2. Logo
x^{2}-7x+10=(x-5)(x-2).
Pela propriedade do produto nulo, (x-5)(x-2)=0 implica
x=5\quad\text{ou}\quad x=2.

Passo 4

Resolver \,x^{2}-25=0\,. Aqui reconhece-se uma diferença de quadrados: x^{2}-25=(x-5)(x+5). Assim
(x-5)(x+5)=0
implica
x=5\quad\text{ou}\quad x=-5.
(Explicação curta: diferença de quadrados tem fórmula \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).)

Passo 5

Resolver \,-x+5=0\,. É uma equação linear simples. Isolando x:
-x+5=0 \quad\Rightarrow\quad -x=-5 \quad\Rightarrow\quad x=5.

Passo 6

Agora fazemos a interseção das soluções, porque é preciso que as três equações sejam satisfeitas ao mesmo tempo. Os conjuntos de raízes são:
\{5,2\},\qquad \{5,-5\},\qquad \{5\}.
A interseção desses três conjuntos é \{5\}. Logo o único x\in\mathbb{R} que anula todas as parcelas simultaneamente é x=5.

Passo 7

Verificação rápida por substituição para ter certeza: para x=5,
5^{2}-7\cdot5+10=25-35+10=0,
5^{2}-25=25-25=0,
-5+5=0.
Logo cada termo ao quadrado é zero e a soma é 0. Portanto x=5 realmente satisfaz a equação.

Resposta

\{5\}

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