Resolva em
as equações abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a equação
As informações relevantes que temos são as três parcelas ao quadrado somadas e igualadas a zero. A pergunta é: quais valores de
satisfazem essa igualdade?
Passo 2
Primeiro conceito importante: para qualquer número real
vale
, ou seja, um quadrado real é sempre não negativo. Portanto a soma de termos ao quadrado também é não negativa. Assim, se uma soma de termos não negativos é igual a zero, cada termo da soma tem de ser zero. Aplicando isso ao nosso caso, devemos ter simultaneamente:
Isto reduz o problema a resolver essas três equações simultaneamente.
Passo 3
Resolver
. Vou fatorar o polinômio quadrático: procuro dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. São
e
. Logo
Pela propriedade do produto nulo,
implica
Passo 4
Resolver
. Aqui reconhece-se uma diferença de quadrados:
. Assim
implica
(Explicação curta: diferença de quadrados tem fórmula
.)
Passo 5
Resolver
. É uma equação linear simples. Isolando
:
Passo 6
Agora fazemos a interseção das soluções, porque é preciso que as três equações sejam satisfeitas ao mesmo tempo. Os conjuntos de raízes são:
A interseção desses três conjuntos é
. Logo o único
que anula todas as parcelas simultaneamente é
.
Passo 7
Verificação rápida por substituição para ter certeza: para
,
Logo cada termo ao quadrado é zero e a soma é
. Portanto
realmente satisfaz a equação.