Resolva, em \mathbb{R}, as equações/inequações abaixo:
4^{x}-2^{x+2}=0

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá:
  • Pedido: resolver em \mathbb{R} a equação
4^{x}-2^{x+2}=0.
  • Informação dada: trata-se de uma equação exponencial envolvendo potências de base 4 e 2. A incógnita é x real.
Observação importante (domínio): expressões do tipo 2^{x} e 4^{x} estão definidas para todo x\in\mathbb{R}, e os valores dessas potências são sempre positivos.

Passo 2

Transformar as potências para a mesma base (isso simplifica muito). Como 4=2^{2}, temos
4^{x}=(2^{2})^{x}=2^{2x}.
Substituindo na equação original obtemos
2^{2x}-2^{x+2}=0.
Explicação didática: usar a mesma base permite comparar e fatorar melhor, porque regras de expoentes como (a^{b})^{c}=a^{bc} e a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n} são aplicáveis.

Passo 3

Fazer uma substituição que transforme a equação exponencial numa equação polinomial simples. Seja
y=2^{x}.
Observação sobre a substituição: como 2^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, então y>0. Isso é importante para aceitar ou recusar raízes depois.
Agora reescrevemos cada termo em função de y:
  • 2^{2x}=(2^{x})^{2}=y^{2}.
  • 2^{x+2}=2^{x}\cdot 2^{2}=y\cdot 4=4y.
Assim a equação fica
y^{2}-4y=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática em y:
y^{2}-4y=0 \quad\Rightarrow\quad y(y-4)=0.
As soluções são y=0 ou y=4.
Agora aplicamos a restrição da substituição: lembrando que y=2^{x}>0, logo y=0 não é admissível. Portanto conservamos apenas
y=4.

Passo 5

Voltar à variável x substituindo y=2^{x}:
2^{x}=4.
Escrever 4 como potência de 2: 4=2^{2}. Assim
2^{x}=2^{2}.
Pela injetividade da função exponencial de base 2 (ou simplesmente igualando expoentes), obtemos
x=2.
Breve nota didática: outra forma é usar logaritmo base 2: x=\log_{2}4=\log_{2}(2^{2})=2.

Passo 6

Conferência rápida: substituir x=2 na equação original:
4^{2}-2^{2+2}=16-2^{4}=16-16=0,
confere. Portanto a solução está correta e é única.
Força aí — resolveu com um truque clássico (substituição 2^{x}=y), ótimo para a prova!

Resposta

x=2

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