Resolva, em
, as equações/inequações abaixo:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá:
- Pedido: resolver em
a equação
- Informação dada: trata-se de uma equação exponencial envolvendo potências de base
e . A incógnita é real.
Observação importante (domínio): expressões do tipo
e
estão definidas para todo
, e os valores dessas potências são sempre positivos.
Passo 2
Transformar as potências para a mesma base (isso simplifica muito). Como
, temos
Substituindo na equação original obtemos
Explicação didática: usar a mesma base permite comparar e fatorar melhor, porque regras de expoentes como
e
são aplicáveis.
Passo 3
Fazer uma substituição que transforme a equação exponencial numa equação polinomial simples. Seja
Observação sobre a substituição: como
para todo
, então
. Isso é importante para aceitar ou recusar raízes depois.
Agora reescrevemos cada termo em função de
:
-
. -
.
Assim a equação fica
Passo 4
Resolver a equação quadrática em
:
As soluções são
ou
.
Agora aplicamos a restrição da substituição: lembrando que
, logo
não é admissível. Portanto conservamos apenas
Passo 5
Voltar à variável
substituindo
:
Escrever
como potência de
:
. Assim
Pela injetividade da função exponencial de base
(ou simplesmente igualando expoentes), obtemos
Breve nota didática: outra forma é usar logaritmo base
:
.
Passo 6
Conferência rápida: substituir
na equação original:
confere. Portanto a solução está correta e é única.
Força aí — resolveu com um truque clássico (substituição
), ótimo para a prova!