Resolva as inequações
2^{x} \geqslant 5

Passo 1

O enunciado dá a inequação \,2^{x}\geqslant 5\, e pede todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes que temos (tal como estão no enunciado):
  • A base da exponencial é 2.
  • O lado direito é o número 5.
    O que se pede: determinar o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} tais que \,2^{x}\geqslant 5.

Passo 2

Entender uma propriedade-chave: a função exponencial x\mapsto 2^{x} é crescente (quando a base é maior que 1). Vou explicar por que, sem usar cálculo: se a>b então a-b>0 e portanto
2^{a}=2^{b} \cdot 2^{\,a-b} > 2^{b}\cdot 1 = 2^{b},
pois 2^{\,a-b}>1 quando a-b>0. Logo, maiores expoentes produzem maiores valores de 2^{x}. Essa monotonicidade permite passar de uma desigualdade envolvendo 2^{x} para uma desigualdade sobre x aplicando a função inversa da exponencial (o logaritmo na base 2) sem inverter o sinal da desigualdade.

Passo 3

Definir o logaritmo: por definição, \log_{2}5 é o número real que satisfaz
2^{\log_{2}5}=5.
Como 2^{x} é crescente, a inequação \,2^{x}\geqslant 5\, é equivalente a
x \geqslant \log_{2}5.
Isto é, a solução em termos exatos é x\geqslant \log_{2}5.

Passo 4

Como calcular/interpretar \log_{2}5 na prática: uma forma exata de escrever o logaritmo é usar mudança de base (útil se só se tem acesso a \ln ou \log_{10}):
\log_{2}5 = \frac{\ln 5}{\ln 2}.
Se for preciso um valor aproximado (para conferir ou dar resposta numérica), pode-se usar as aproximações \ln 5 \approx 1,609437912 e \ln 2 \approx 0,693147181, então
\log_{2}5 \approx \frac{1,609437912}{0,693147181} \approx 2,321928094.
Um jeito simples sem calculadora para ter uma ideia grosseira: 2^{2}=4<5<8=2^{3}, logo \log_{2}5 está entre 2 e 3.

Passo 5

Observação sobre soluções inteiras: se a pergunta pedisse apenas inteiros x, pelo teste acima x=2 não serve porque 2^{2}=4<5, e x=3 serve porque 2^{3}=8\geqslant 5. Portanto, entre inteiros a menor solução inteira é x=3. Mas no conjunto dos reais a solução é \,x\geqslant \log_{2}5\,.

Resposta

[\,\log_{2}5,\;+\infty)
\log_{2}5 \approx 2,321928094

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